a) Xét tam giác ABC có \(EM//AC\left(gt\right)\), mà M là trung điểm của BC(gt) => E là trung điểm của AB

CMTT => F là trung điểm của AC

b) Xét tam giác ABC có 

• E là trung điểm của AB( gt)
• F là trung điểm của AC(gt)

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC 

=> BC = 2EF( tính chất đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: EF//BC( do EF là đường trung bình của tam giác ABC)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{EAF}=\widehat{ABC}\\\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\end{cases}}\)(Các cặp góc đồng vị)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{AFE}\Rightarrow\Delta AEF\)cân tại A

\(\Rightarrow AE=AF\)

Xét tứ giác AEMF có

\(\hept{\frac{AE//MF\left(gt\right)}{AF//EM\left(gt\right)}}\)

=> Tứ giác AEMF là Hình bình hành

\(\Rightarrow AE=ME=MF=AF\)

Ta có : \(27xyz\le\left(x+y+z\right)^3\)

<=> \(\left(x+y+z\right)^3-27xyz\ge0\)

<=> (x + y)³ + 3(x + y)z(x + y + z) + z³ - 27xyz \(\ge0\)

=> x³ + y³ + 3xy(x + y) + 3(x + y)z(x + y + z) + z³ - 27xyz \(\ge\)0 

<=> (x³ + y³ + z³) + 3(x + y)[xy + z(x + y + z)] - 27xyz \(\ge0\)

<=> (x³ + y³ + z³) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz   \(\ge0\)

mà  x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)

Thật vậy x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)

=> (x + y)² \(\ge\)4xy 

<=> x² - 2xy + y²  \(\ge\) 0

<=> (x - y)² \(\ge\)0 (đúng \(\forall x;y>0\))

Tương tự ta được y + z \(\ge2\sqrt{yz}\)

z + x \(\ge2\sqrt{xz}\)

Khi đó 3(x + y)(y + z)(z + x) \(\ge3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=24xyz\)(dấu "=" xảy ra khi x = y = z)

=> (x³ + y³ + z³) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz   \(\ge0\)

<=> (x³ + y³ + z³) + 24xyz - 27xyz \(\ge0\)

<=> x³ + y³ + z³ - 3xyz   \(\ge0\)

<=> (x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²] \(\ge\)0 (đúng)

=> ĐPCM

\(3x\left(x+1\right)-2x\left(x+1\right)=-x-1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\)

Bài 2 : 

\(M=2\left(x+1\right)+\left(3x+2\right)\left(3x-2\right)-9x^2\)

\(=2x+2+9x^2-4-9x^2=2x-2\)

Thay x = 15 vào ta được : \(M=2.15-2=30-2=28\)

Bài 3 : 

\(f\left(x\right)=x^2-4x+9=x^2-4x+4+5=\left(x-2\right)^2+5\ge5\forall x\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 2

Vậy GTNN của f(x) bằng 5 tại x = 2

a. | x² + 1 | = 0

\(\Rightarrow\)x² + 1 = 0

\(\Rightarrow\)x² = 0 - 1

\(\Rightarrow\)x² = - 1

\(\Rightarrow\)x \(\in\varnothing\)

\(\left|x^2+1\right|=0\)

\(x^2+1=0\)

\(x^2=-1\)

\(\orbr{\begin{cases}x=i\left(TM\right)\\x=-i\left(TM\right)\end{cases}}\)

\(b,4x^2+17\left(x+1\right)=x+1\)

\(4x^2+17x+17-x-1=0\)

\(4x^2+16x+16=0\)

\(4x^2+8x+8x+16=0\)

\(4x\left(x+2\right)+8\left(x+2\right)=0\)

\(\left(4x+8\right)\left(x+2\right)=0\)

\(4\left(x+2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\left(x+2\right)^2=0\)

\(x=-2\left(TM\right)\)

-3y²z x ( 3y + 4x² - 5xy +1 )

= [(-3y\(^2\)zx) . 3y] + [-3y²z x).4 x\(^2\)] + [-3y²z x . (-5xy)] + [(-3y²z x ). 1]

=     -9y\(^3\)zx        -    12 y\(^2\)zx\(^3\) +  15y\(^3\)zx\(^2\) -3y²z x 

 phân tích thành nhân tử

3xy^2(5xy-3y-4x^2-1)z

Trả lời:

- 3y²zx ( 3y + 4x² - 5xy + 1 )

= - 9xy³z - 12x³y²z + 15x²y³z - 3xy²z