Bài 1

Gọi x là số hàng (x ∈ ℕ*)

Để số cây bắp cải và số cây su hào ở mỗi hàng bằng nhau thì x là ƯC(108; 63)

Ta có:

108 = 2².3³

63 = 3².7

⇒ ƯCLN(108; 63) = 3² = 9

⇒ x ∈ ƯC(108; 63) = Ư(9) = {1; 3; 9}

Vậy bác Nam cần trồng cây theo số hàng 1 hoặc 3 hoặc 9 hàng

Bài 2

Gọi x (m) là độ dài cạnh hình vuông có thể chia (x ∈ ℕ*)

Độ dài cạnh hình vuông có thể chia là ước chung của 60 và 24

Ta có:

60 = 2².3.5

24 = 2³.3

⇒ ƯCLN(60; 24) = 2².3 = 12

⇒ x ∈ ƯC(60; 24) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Vậy có 6 cách chia

Cách chia để diện tích hình vuông lớn nhất là cách chia cạnh hình vuông lớn nhất là 12m

\(60-3\times(x - 2)=51\)

\(3\times(x-2)=60-51\)

\(3\times(x-2)=9\)

\(x-2=9:3\)

\(x-2=3\)

\(x=3+2\)

\(x=5\)

Số đã cho có thể viết là \(N=101010...10\) (27 cụm 10)

Do đó \(N=10^{53}+10^{51}+10^{49}...+10^1\)

\(\Rightarrow100N=10^{55}+10^{53}+10^{51}+...+10^3\)

\(\Rightarrow99N=10^{55}-10\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{55}-10}{99}\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{10^{55}-10}{99}⋮27\) hay \(10^{55}-10⋮2673\)

Mà \(2673=3^5.11\) nên ta cần cm \(10^{55}-10⋮243=3^5\) và \(10^{55}-10⋮11\)

*) Chứng minh \(10^{55}-10⋮11\)

 Ta thấy 10 chia 11 dư \(-1\) nên \(10^{54}\) chia 10 dư 1. Từ đó \(10^{54}-1⋮11\) \(\Rightarrow10^{55}-10⋮11\)

*) Chứng minh \(10^{55}-10⋮3^5\)

Điều này tương đương với \(10^{54}-1⋮3^5\). 

Ta có \(10^{54}-1=\left(10^{27}-1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 \(=\left(10^9-1\right)\left(10^{18}+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 \(=\left(10^3-1\right)\left(10^6+10^3+1\right)\left(10^{18}+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

\(=\left(10-1\right)\left(10^2+10+1\right)\left(10^6+10^3+1\right)\left(10^8+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 Ta thấy \(10-1=9=3^2\), \(10^2+10+1,10^6+10^3+1,10^{18}+10^9+1⋮3\) do chúng đều có tổng các chữ số là 3. Từ đó \(10^{54}-1⋮3^5\)

 Vậy, ta có đpcm.

 Số đã cho được viết là N = 111...11 (81 chữ số 1)

\(N=10^{80}+10^{79}+...+10^1+10^0\)

\(\Rightarrow10N=10^{81}+10^{80}+...+10^2+10^1\)

\(\Rightarrow9N=10^{81}-1\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{81}-1}{9}\)

 Ta chứng minh \(\dfrac{10^{81}-1}{9}⋮81=3^4\) hay \(10^{81}-1⋮3^6\)

 Kí hiệu \(v_p\left(n\right)\) là số mũ đúng của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n.

Sử dụng định lý LTE, ta có:

 \(v_3\left(10^{81}-1\right)=v_3\left(10-1\right)+v_3\left(81\right)\) \(=2+4=6\)

 Do đó \(10^{81}-1⋮3^6\), ta có đpcm.

 (Bạn có thể tìm hiểu thêm về định lý LTE trên mạng nhưng bạn sẽ không được dùng nó vào chương trình lớp 6 đâu. Bạn có thể cm điều này bằng cách phân tích \(10^{81}-1\) thành tích của các số nhưng sẽ hơi lâu.)

Lời giải:

Ta có:

\(\underbrace{111....1}_{81}=\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{72}+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{63}+\underbrace{111...1}_{9}\times 10^{54}+....+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^0\)

\(=\underbrace{111....1}_{9}(10^{72}+10^{63}+...+10^0)\)

\(=\underbrace{111...1}_{9}\times 1\underbrace{0...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\)

Ta thấy thừa số thứ nhất chia hết cho 9 (do tổng các chữ số bằng 9). Thừa số thứ 2 cũng chia hết cho 9 (do tổng các chữ số chia hết cho 9)

Do đó tích 2 thừa số trên chia hết cho $9.9=81$

Ta có điều phải chứng minh.

3n + 1⋮ 2n + 1 đk n \(\ne\) - \(\dfrac{1}{2}\)

6n + 2 ⋮ 2n + 1

3.(2n + 1) - 1 ⋮ 2n + 1

                   1 ⋮ 2n + 1

2n + 1 \(\in\) { -1; 1}

n \(\in\) {-1; 0}

B = 1/4 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 + 1/143 + 1/195

= 1/4 + 1/(3.5) + 1/(5.7) + 1/(7.9) + 1/(9.11) + 1/(11.13) + 1/(13.15)

= 1/4 + 1/2.(1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + 1/7 - 1/9 + 1/9 - 1/11 + 1/11 - 1/13 + 1/13 - 1/15)

= 1/4 + 1/2.(1/3 - 1/15)

= 1/4 + 1/2 . 4/15

= 1/4 + 2/15

= 23/60

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mn hiểu đề của bạn hơn nhé.

abc = 100a + bc

Do 100 ⋮ 25

⇒ 100a ⋮ 25

Mà abc ⋮ 25

⇒ bc ⋮ 25

Lời giải:

$\overline{abc}=a.100+\overline{bc}=25.4a+\overline{bc}\vdots 25$

$\Rightarrow \overline{bc}\vdots 25$ (do $25.4a\vdots 25$)

Ta có:

abc = 100a + bc

Do 100 ⋮ 4

⇒ 100a ⋮ 4

Và bc ⋮ 4

⇒ (100a + bc) ⋮ 4

Vậy abc ⋮ 4