Ta có công thức tổng quát của dãy số: 

\(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Trong đề bài ta có dãy số: \(1\cdot2+2\cdot3+...+99\cdot100\) có \(n=99\)

\(\Rightarrow1\cdot2+2\cdot3+...+99\cdot100=\dfrac{99\cdot\left(99+1\right)\cdot\left(99+2\right)}{3}=333300\)

Trở lại để bài:

\(\dfrac{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+99\cdot100}{x^2+\left(x^2+1\right)+\left(x^2+2\right)+...+\left(x^2+99\right)}=50\dfrac{116}{131}\)

\(\Rightarrow\dfrac{333300}{x^2+x^2+1+x^2+2+...+x^2+99}=\dfrac{6666}{131}\)

\(\Rightarrow\dfrac{333300}{\left(x^2+x^2+...+x^2\right)+\left(1+2+3+...+99\right)}=\dfrac{6666}{131}\)

\(\Rightarrow\dfrac{333300}{100x^2+4950}=\dfrac{6666}{131}\)

\(\Rightarrow6666\left(100x^2+4950\right)=333300\cdot131\)

\(\Rightarrow666600x^2+32996700=43662300\)

\(\Rightarrow666600x^2=10665600\)

\(\Rightarrow x^2=\dfrac{10665600}{666600}\)

\(\Rightarrow x^2=16\)

\(\Rightarrow x^2=4^2\)

\(\Rightarrow x=\pm4\)

Ta có: 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...+994-995-996+997+998

= (1-3+5-7+...+993-995+997) + (2-4+6-8+...994-996+998)

= (-2-2-2-2...-2+997) + (-2-2-2...-2)

= 499 + 500

= 999

Ta sử dụng phương pháp đánh giá

\(\left(x-1\right)^2+5y^2=6\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=6-5y^2\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) 

\(\Rightarrow6-5y^2\ge0\forall y\) (vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 thì vế phải cũng vậy) 

\(\Rightarrow5y^2\le6\)

\(\Rightarrow y^2\le1,2\)

Do \(y^2\) là một số nguyên bình phương nên \(\Rightarrow y^2\in\left\{1;0\right\}\Rightarrow y\in\left\{0;1;-1\right\}\)

Thay \(y=0\) vào ta có: \(\left(x-1\right)^2+5\cdot0^2=6\Rightarrow\left(x-1\right)^2=6\) (x không có giá trị nguyên) 

Thay \(y=1\) vào ta có: \(\left(x-1\right)^2+5\cdot1^2=6\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)

TH1: \(x-1=1\Rightarrow x=2\)

TH2: \(x-1=-1\Rightarrow x=0\)

Thay \(y=-1\) vào ta có: \(\left(x-1\right)^2+5\cdot\left(-1\right)^2=6\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)

TH1: \(x=2\)

TH2: \(x=0\) 

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;1\right);\left(0;1\right);\left(2;-1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)

(\(x\) - 1)² + 5y² = 6 Vì 5y²≥ 0 ⇒ (\(x-1\))² ≤ 6 - 0 = 6

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0;y^2=\dfrac{6}{5}\left(ktm\right)\\\left(x-1\right)^2=1;y^2=\dfrac{6-1}{5}=1\\\left(x-1\right)^2=4;y^2=\dfrac{6-4}{5}=\dfrac{2}{5}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là:

(\(x;y\)) = (0; -1); (0; 1); (2; -1); (2; 1)

a) \(2x-\dfrac{2}{11}=1\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow2x=\dfrac{6}{5}+\dfrac{2}{11}\)

\(\Rightarrow2x=\dfrac{76}{55}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{76}{55}:2\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{38}{55}\) 

b) \(\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}x=\dfrac{-1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}x=\dfrac{-1}{3}-\dfrac{5}{9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}x=-\dfrac{8}{9}\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{8}{9}:\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}\)

c) \(\dfrac{-3}{7}-\dfrac{3}{5}x=\dfrac{4}{5}+\dfrac{-2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-3}{7}-\dfrac{3}{5}x=\dfrac{2}{15}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{5}x=-\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{15}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{5}x=\dfrac{-59}{105}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-59}{105}:\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{59}{63}\)

d) \(\dfrac{3x}{8}=\dfrac{-6}{15}\cdot\dfrac{5}{14}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3x}{8}=\dfrac{-3}{7}\)

\(\Rightarrow8\cdot\dfrac{3x}{8}=8\cdot\dfrac{-3}{7}\)

\(\Rightarrow3x=-\dfrac{24}{7}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-24}{7}:3\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{8}{7}\)

\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{\left(-2\right)}{3}\)

\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{9}{15}+\dfrac{\left(-10\right)}{15}\)

\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{-1}{15}\)

\(\Rightarrow x=-1\)

Lời giải:

\(A=\frac{5(4n+3)-2}{4n+3}=5-\frac{2}{4n+3}\)

Để $A$ có giá trị nhỏ nhất thì $\frac{2}{4n+3}$ có GTLN

$\Rightarrow 4n+3$ phải nhỏ nhất và $4n+3>0$

Tức là $4n+3$ có giá trị nguyên dương nhỏ nhất.

Với $n$ nguyên, $4n+3$ chia 4 dư 3 nên $4n+3$ nguyên dương nhỏ nhất bằng $3$

$\Rightarrow n=0$

Vậy $A_{\min}=\frac{13}{3}$ khi $n=0$.

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề điểm và đoạn thẳng cấu trúc thi hsg, hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn em làm dạng này như sau:

Vì O;A; C thẳng hàng nên O \(\in\) AC;

Vì O;B;D thẳng hàng nên O \(\in\) DB 

Vậy O là giao điểm của AC  và BD.

Kết luận vị trí của điểm O sao cho ba điểm A; O; C và ba điểm; B;O;D thẳng hàng là O là giao điểm của AC và BD.

a) Gọi \(ƯCLN\left(a^2,a+b\right)=d\)  với \(d\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮d\\a+b⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮d\\a^2+ab⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow ab⋮d\) 

Vì \(a,b\) nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\)

Hơn nữa, vì \(a+b⋮d\) nên nếu \(a⋮d\) thì \(b⋮d\). Nếu \(b⋮d\) thì \(a⋮d\). Như vậy \(a,b⋮d\).

 Nhưng do \(a,b\) nguyên tố cùng nhau nên \(d=1\) \(\RightarrowƯCLN\left(a^2,a+b\right)=1\) hay \(a^2,a+b\) nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi \(ƯCLN\left(ab,a+b\right)=d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab⋮d\\a+b⋮d\end{matrix}\right.\)

 Vì a và b nguyên tố cùng nhau nên từ \(ab⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\). Đến đây kết hợp với \(a+b⋮d\)  và lập luận tương tự như câu a), sẽ chứng minh được \(d=1\)

1.2.3.4.5.6.7.8.9 - 1.2.3.4.5.6.7.8 - 1.2.3.4.5.6.7 - 8²

= 1.2.3.4.5.6.7.(8.9 - 8 - 1) - 64

= 5040.63 - 64

= 317520 - 64

= 317456

\(1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9-1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8-1\times2\times3\times4\times5\times6\times7-8^2\)

\(=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times\left(8\times9-8-1\right)-64\)

\(=5040\times63-64\)

\(=317520-64\)

\(=317456\)