Điểm I ở câu 2 là điểm nào em?

 1, Ta có \(\widehat{MHB}=\widehat{MKB}=90^o\) nên tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn (BM) nên \(\widehat{MHK}=\widehat{MBK}\)

 Lại có tứ giác ABCM nội tiếp nên \(\widehat{MBK}=\widehat{ACM}\) (góc ngoài bằng góc trong đối)

 \(\Rightarrow\widehat{MHK}=\widehat{MBK}=\widehat{ACM}\)

 2, Ta có \(\widehat{MHC}=\widehat{MIC}=90^o\) nên tứ giác MHIC nội tiếp đường tròn (MC). 

 \(\Rightarrow\widehat{MHI}+\widehat{MCA}=180^o\)

 Lại có \(\widehat{MCA}=\widehat{MHK}\left(cmt\right)\Rightarrow\) \(\widehat{MHI}+\widehat{MHK}=180^o\) \(\Rightarrow\) H, K, I thẳng hàng.

 Thêm: Đường thẳng qua 3 điểm H, I, K gọi là đường thẳng Simson trong tam giác. Bạn có thể lên mạng tham khảo thêm. 

 Gọi M là trung điểm của AC và T là điểm đồng quy của 2 tiếp tuyến tại B, D và đường thẳng AC.

 Nhận thấy \(\widehat{OBT}=\widehat{ODT}=\widehat{OMT}=90^o\) nên 5 điểm O, M, B, T, D cùng thuộc đường tròn (OT).

 Ta có \(\widehat{DCM}=\widehat{DCA}=\widehat{DBA}\)

 Và \(\widehat{DMC}=180^o-\widehat{TMD}\) \(=180^o-\widehat{DBT}\) \(=180^o-\widehat{BCD}\) \(=\widehat{DAB}\)

Nên \(\Delta DAB\sim\Delta DMC\left(g.g\right)\)

 \(\Rightarrow\dfrac{AB}{MC}=\dfrac{BD}{CD}\) 

 \(\Rightarrow AB.CD=MC.BD=\dfrac{1}{2}AC.BD\)

 Tương tự, ta chứng minh được \(AD.BC=\dfrac{1}{2}AC.BD\) (hoặc cùng có thể dùng định lý Ptolemy trong tứ giác ngoại tiếp để suy ra điều này).

 \(\Rightarrow AB.CD=AD.BC\left(=\dfrac{1}{2}AC.BD\right)\) 

 Ta có đpcm.

 Mình trả lời rồi nhé bạn. Nếu bạn chưa xem được đáp án thì bạn vào trang cá nhân của mình xem nhé.

1) \(x^2-2x-15=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot-15=64>0\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=\dfrac{2+\sqrt{64}}{2\cdot1}=5\)

\(x_2=\dfrac{2-\sqrt{64}}{2\cdot1}=-3\)

2) \(x^2-2mx+m-2=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)=4m^2-4m+8=\left(2m-1\right)^2+7>0\forall m\)

Theo vi-ét: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-2m\right)}{1}=2m\\x_1x_2=\dfrac{m-2}{1}=m-2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(3+x_1\right)\left(2-x_2\right)-\left(3+x_2\right)\left(x_1-2\right)=x^2_1+x^2_2+18\)

\(\Leftrightarrow6-3x_2+2x_1-x_1x_2-\left(-6+3x_1-2x_2+x_1x_2\right)=x^2_1+x^2_2+18\)

\(\Leftrightarrow6-3x_2+2x_1-x_1x_2+6-3x_1+2x_2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+18\)

\(\Leftrightarrow12-3\left(x_1+x_2\right)+2\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+18\)

\(\Leftrightarrow12-\left(x_1+x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+18\)

\(\Leftrightarrow12-2m=\left(2m\right)^2+18\)

\(\Leftrightarrow12-2m=4m^2+18\)

\(\Leftrightarrow4m^2+2m+6=0\)

\(\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Vậy không có m thỏa mãn 

 Gọi X và Y lần lượt là giao điểm thứ hai của EM với (O), EN với (O').

 Ta có \(\widehat{MAO'}=\widehat{NAO}\left(=90^o\right)\) nên \(\widehat{MAO}=\widehat{NAO'}\). Hơn nữa tam giác MAO và NAO' đều là các tam giác cân nên \(\Rightarrow\widehat{MOA}=\widehat{NO'A}\) 

 Trong đường tròn (O), ta có: \(\widehat{MOA}=sđ\stackrel\frown{MA}=2.\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MA}=2\widehat{MBA}\)

 Tương tự, ta có \(\widehat{NO'A}=2\widehat{ABN}\)

 \(\Rightarrow\widehat{MBA}=\widehat{ABN}\)

 Hơn nữa có \(\widehat{MAB}=\widehat{ANB}\) (vì chúng lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB của (O').

 \(\Rightarrow\Delta BAM\sim\Delta BNA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BA}{BN}=\dfrac{BM}{BA}\)

 Do \(BA=BE\) nên \(\dfrac{BE}{BN}=\dfrac{BM}{BE}\)

 Lại có \(\widehat{MBA}=\widehat{ABN}\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{EBN}\)

\(\Rightarrow\Delta MBE\sim\Delta EBN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{ENB}\)

 Lại có \(\widehat{ENB}=\widehat{BNY}=\widehat{BAY}\) nên \(\widehat{MEB}=\widehat{BAY}\) \(\Rightarrow\) EX//AY

\(\Rightarrow\widehat{AYN}=\widehat{MEN}\)

 Hơn nữa vì \(\widehat{NAx}=\widehat{AYN}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AN trong (O'))

\(\Rightarrow\widehat{NAx}=\widehat{MEN}\)

 Từ đó suy ra tứ giác AMEN nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối)

 Ta có đpcm.

a/

E và F bình đẳng nhau nên tôi chỉ c/m ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH. Còn c/m MF là tiếp tuyến làm tương tự bạn tự c/m nhé

Gọi I là tâm đường tròng đường kính AH => IA=IH

Gọi D là giao của AH với BC

Xét tg ABC có \(AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

\(\Rightarrow AD\perp BC\)

Xét tg vuông ADC và tg vuông BEC có

\(\widehat{DAC}=\widehat{EBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\) ) (1)

Xét tg vuông AHE có

\(IA=IH\Rightarrow IE=IA=IH=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow E\in\left(I\right)\) và tg AIE cân tại I

 \(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{AEI}\) (góc ở đáy tg cân) (2)

Xét tg vuông BEC có

\(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow ME=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg BME cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{BEM}\) (góc ở đáy tg cân) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{BEM}\)

Mà \(\widehat{AEI}+\widehat{BEI}=\widehat{AEB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BEM}+\widehat{BEI}=\widehat{MEI}=90^o\Rightarrow ME\perp IE\) => ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH

b/

Xét tg MEK và tg MAE có

\(\widehat{AME}\) chung

Ta có

\(sđ\widehat{MEK}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{MAE}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc nội tiếp (O))

\(\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{MAE}\)

=> tg MEK đồng dạng với tg MAE (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MA}=\dfrac{MK}{ME}\Rightarrow MK.MA=ME^2\)

\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-m\right)\)

\(=4m^2-4m^2+4m=4m\)

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}>0\\-\dfrac{b}{a}>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4m>0\\2m>0\\m^2-m>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>1\)

\(\sqrt{x_1}=\sqrt{3x_2}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_1>=0\\x_2>=0\\x_1=3x_2\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\)

=>\(3x_2+x_2=2m\)

=>\(x_2=0,5m\)

=>\(x_1=1,5\cdot m\)

\(x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-m\)

=>\(m^2-m-0,75m^2=0\)

=>\(0,25m^2-m=0\)

=>\(m\left(0,25m-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=m^2-\left(m^2-m\right)=m>0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m\end{matrix}\right.\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m>0\\x_1x_2=m^2-m\ge0\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow m\ge1\)

Khi đó:

\(\sqrt{x_1}=\sqrt{3x_2}\Rightarrow x_1=3x_2\)

Thế vào \(x_1+x_2=2m\Rightarrow4x_2=2m\Rightarrow x_2=\dfrac{m}{2}\)

\(\Rightarrow x_1=\dfrac{3m}{2}\)

Thế vào \(x_1x_2=m^2-m\)

\(\Rightarrow\dfrac{3m^2}{4}=m^2-m\)

\(\Rightarrow m^2-4m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=4\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}y\ge\dfrac{3}{2}\\x\ge-5\end{matrix}\right.\)

Từ pt đầu:

\(x^2+6x+9=12y^2-4xy-4x+12y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4xy+4y^2\right)+10\left(x+2y\right)+25-16\left(y^2+2y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+5\right)^2-\left(4y+4\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6y+9\right)\left(x-2y+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+6y+9=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\)

- Với \(x+6y+9=0\Leftrightarrow\left(x+5\right)+6y+4=0\) (vô nghiệm do \(x\ge-5\) và \(y\ge\dfrac{2}{3}\))

- Với \(x=2y-1\) thay vào pt dưới:

\(\sqrt{3y-2}-\sqrt{y+2}=2y^2-3y-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(y-2\right)}{\sqrt{3y-2}+\sqrt{y+2}}=\left(y-2\right)\left(2y+1\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\Rightarrow x=3\\\dfrac{2}{\sqrt{3y-2}+\sqrt{y+2}}=2y+1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), do \(y\ge\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{3y-2}+\sqrt{y+2}}\le\dfrac{2\sqrt{14}}{7}< 2\)

Mà \(2y+1\ge\dfrac{4}{3}+1>2\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

a. Với mọi a;b;c ta có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

b.

Ta có: \(\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\) ; \(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ac}{2}\)

Cộng vế:

\(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

cậu lớp mấy thế

tớ mới lớp 3 thôi mà:((

Đề bài chính xác là \(a;b;c>0\) (ko hiểu dấu = có ý nghĩa gì khi mà các mẫu số đều phải khác 0 nên hiển nhiên a;b;c đều khác 0)

Đặt \(P=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\)

Do \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)

\(P\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{7}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)

\(P\ge\dfrac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)