Ta có:

a < b + c
=> a + a <a + b + c
=> 2a < 2
--> a < 1

Tương tự ta có : b < 1,c < 1

Suy ra: (1 − a)(1 − b)(1 − c) > 0 
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < − 1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < − 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < a^2 + b^2 + c^2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < (a + b + c)^2 − 2
⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < 2^2−2 = 2
⇔ dpcm

ukm!khó bn nhỉ?đúng là 1 bài toán hay vs đáng cân nhắc ,tham khảo thêm.....mọi người nhớ kb với mik nha!!!yêu nhìu>_<

Sử dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(P=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-8\left(x+y\right)+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)^2\ge0\)( ĐPCM )

Có : \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)

Theo BĐT Cô - si ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)

\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)

Do đó ; \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\)

Hay : \(P\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

Vậy \(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)

Xét n = 0 thì \(A=1\left(l\right)\)

Xét n = 1 thì \(A=3\left(nhan\right)\)

Xét \(n\ge2\)

Ta có:

\(A=n^{2018}+n^{2011}+1\)

\(=\left(n^{2018}-n^2\right)+\left(n^{2011}-n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{672}-1\right)+n\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^3-1\right)X+\left(n^3-1\right)Y+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)X'+\left(n^2+n+1\right)Y'+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(X'+Y'+1\right)\)

Với \(n\ge2\) thì A là tích của 2 số khác 1 nên không thể là số nguyên tố được.

Vậy n cần tìm là 1.

A=N²⁰¹⁸+N²⁰¹¹+1

A=N<1²⁰¹⁸+1²⁰¹¹>+1

A=2N+1

VẬY N=-1/2

TỚ KO BIẾT ĐÚNG KO NHÉ

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

\(\frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}\)

Suy ra \(BA.CD=EA.BD\left(1\right)\)

Mặt khác, tam giác EBC và tam giác ABD cũng đồng dạng do có

\(\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}\) và góc EBC= góc ABD

Từ đó

\(\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)

Suy ra

\(AD.BC=EC.BD\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2) ta suy ra

\(AB.CD+AD.BC=BD.\left(EA+EC\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra \(AB.CD+AD>BC\ge AC>BD\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptoleme.

Lớp 8 đã học tứ giác nội tiếp đâu mà bạn đã kết luận như vậy rồi.Bạn làm theo ý tưởng trên Wikipedia cũng phải chỉ rõ cách dựng điểm E ; kết luận dấu = xảy ra khi E,C,A thẳng hàng rồi từ đó suy ra tổng 2 góc đối của tứ giác bằng 180⁰ 

1/ Thay x=-4 vao A -> A= \(\frac{-4}{-4+3}\)= 4 
2/ B=\(\frac{2}{x-3}\)+\(\frac{x-15}{x^2-9}\)
B= \(\frac{2\left(x+3\right)+x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
B= \(\frac{2x+6+x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)=  \(\frac{3x-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)= \(\frac{3\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)= \(\frac{3}{x+3}\)
c, B>A <=> \(\frac{3}{x+3}\)> \(\frac{x}{x+3}\)
<=> \(\frac{3}{x+3}\)- \(\frac{x}{x+3}\)> 0
<=> \(\frac{3-x}{x+3}\)>0
<=> 3-x <0  / >0           ( Đkxd x khác -3 )
       x+3 <0 / >0
.............. 
...............................

Vậy ...

1) \(A=\frac{x}{x+3}\)( ĐKXĐ : \(x\ne-3\))

Với x = -4 ( tmđk ) thì giá trị của A là

\(A=\frac{-4}{-4+3}=\frac{-4}{-1}=4\)

2) \(B=\frac{2}{x-3}+\frac{x-15}{x^2-9}\)( ĐKXĐ : \(x\ne\pm3\))

\(B=\frac{2}{x-3}+\frac{x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(B=\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(B=\frac{2x+6+x-15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(B=\frac{3x-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(B=\frac{3\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{3}{x+3}\)

3) Để B > A

=> \(\frac{3}{x+3}>\frac{x}{x+3}\)( ĐKXĐ : \(x\ne-3\))

<=> \(\frac{3}{x+3}-\frac{x}{x+3}>0\)

<=> \(\frac{3-x}{x+3}>0\)

Xét hai trường hợp :

1.\(\hept{\begin{cases}3-x>0\\x+3>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x>-3\\x>-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 3\\x>-3\end{cases}}\Leftrightarrow-3< x< 3\)( tmđk )

2. \(\hept{\begin{cases}3-x< 0\\x+3< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x< -3\\x< -3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>3\\x< -3\end{cases}}\)( loại )

Vì x nguyên => x ∈ { -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }

Vậy ...

A= -10

B= -5

A = (x - 2)(x² + 2x + 4) - x(x - 2)(x + 2) - 2(2x + 1)

   = x(x² + 2x + 4) - 2(x² + 2x + 4) - x(x² - 4) - 2(2x + 1)

   = x³ + 2x² + 4x - 2x² - 4x - 8 - x³ + 4x - 4x - 2

   = (x³ - x³) + (2x² - 2x²) + (4x - 4x + 4x - 4x) + (-8 - 2) = -10 => không phụ thuộc vào x

B = (x + 1)³ - x(x - 2)² - 7(x² + 1) - (1 - x) + 2

   = x³ + 3x² + 3x + 1 - x(x - 2)(x - 2) - 7x² - 7 - 1 + x + 2

  =  x³ + 3x² + 3x + 1 - x(x² - 4x + 4) - 7x² - 7 - 1 + x + 2

   = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³  + 4x² - 4x - 7x² - 7 - 1 + x + 2 = (x³ - x³) + (3x² + 4x² - 7x²) + (3x - 4x + x) + (1 - 7 - 1 + 2) =  - 5 => không phụ thuộc vào x 

\(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}\)\(=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c-a\right)+\left(c^2+ab+bc+ca\right)\left(a-b\right)+\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(b^2c+bc^2+c^2a-ab^2-a^2b-ca^2\right)+\left(c^2a+a^2b+ca^2-bc^2-ab^2-b^2c\right)+\left(a^2b+ab^2+b^2c-ca^2-bc^2-c^2a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(a^2b-ca^2\right)+\left(b^2c-bc^2\right)-\left(ab^2-c^2a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b+c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)

abc  bnj k

a/ 

Ta có BG vuông góc AB; CH vuông góc AB => BG//CH

Ta có BH vuông góc AC; CG vuông góc AC => BH//CG

=> BHCG là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh dối // với nhau từng đôi một)

M là giao 2 đường chéo của hình bình hành BHCG => M là trung điểm của BC (trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

b/ Ta có H trực tâm của tg ABC => AH vuông góc BC; AB vuông góc CE => ^PAH = ^HCM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (1)

Ta có PQ vuông góc HG (đề bài) và AB vuông góc CE (đề bài) => ^APH = ^CHM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (2)

Từ (1) và (2) => tg CMH đồng dạng với tg AHP

c/ 

Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)

Để M là số nguyên thì 12n² + 1  là số chính phương lẻ 
Đặt 12n² + 1 = (2k -1)²   (k \(\in\) N)

<=> 12n² + 1 = 4k² - 4k +1

<=> 12n² = 4k² - 4k 

<=> 3n² = k(k - 1)

=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3

TH1 : k ⋮ 3 => n² =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1)     Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x² => k = 3x²

  và đặt k - 1 = y² => k = y² +1

  => 3x² = y² + 1 = 2 ( mod 3)

  Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1

TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :

  => n² = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\)     Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z² 

=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z² =(2z)² là 1 số chính phương 

 => M là một số chính phương ( đpcm )

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)

\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)

\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)

TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)

Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)

Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)

Ta có đpcm

TH2(tương tự):\(k=3q+1\)