Đây là bài toán về đường tròn Apollonius tỉ số k dựng trên đoạn AB. Ta giải như sau:

 Trường hợp 1: k = 1. Khi đó ta thấy ngay MA = MB. Vậy quỹ tích những điểm M chính là đường trung trực của AB.

Trường hợp 2:  \(k\ne1\).

Phần thuận. Gọi C, D là các điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k. Ta có \(\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k\) (C nằm giữa A, B và D nằm ngoài đọan AB). Khi đó nếu M trùng C, D thì thỏa mãn đẳng thức.

Nếu M khác C và D. Ta có \(\frac{MA}{MB}=\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\) nên MC, MD lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc AMB. Do đó góc CMD = 90 độ hay M thuộc đường tròn đường kính CD.

Phần đảo. Lấy M bất kì thuộc đường tròn đường kính CD. Nếu M trùng C hoặc D thì xong.

Nếu M khác C và D. Qua A vẽ đuờng thẳng vuông góc với MC cắt MB tại I và cắt MC tại K. Ta có \(\frac{AI}{MD}=\frac{BA}{BD}=1-k\) . Vì \(k=\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{CB}=\left(DC-2AC\right)\left(DB-BC\right)=1-\frac{2CA}{CD}\)nên \(\frac{AK}{MD}=\frac{AC}{CD}=\)\(\frac{1-k}{2}\) .Do đó AI = 2.AK, suy ra K là trung điểm AI, suy ra MI = MA. Từ đó \(\frac{MA}{MB}=\frac{MI}{MB}=\frac{DA}{DB}=k\).  Vậy với k ≠ 1, quỹ tích những điểm M thỏa mãn \(\frac{MA}{MB}=k\) là đường tròn đường kính CD.

Chúc em học tốt :)

gọi v ô tô là x, v xe máy là y

thời gian 2 xe đi đến C là: 120/x=40/y

=> x=3y

theo đề bài:(40+CD)/x=CD/y

=>CD=20km

=>BD=60km; s ô tô đi = 220km

=>y=60/4=15km/h

x=220/4=55km/h

Gọi vận tốc xe ô tô và xe máy lần lượt là x và y (x,y>0) (km/h)

Ta có : Thời gian ô tô đi quãng đường AC là \(\frac{120}{x}\)

Khi đó, thời gian của xe máy đi quãng đường BC là \(\frac{160-120}{y}=\frac{40}{y}\)

Thời gian xe máy đi quãng đường CD là : \(\frac{CD}{y}\)

Theo đề bài, ta có : \(\frac{CD}{y}=\frac{40+CD}{x}\)

Vì thời gian từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ nên ta có : \(\frac{40}{y}+\frac{CD}{y}=4\)

Ta có hệ phương trình  :                           \(\hept{\begin{cases}\frac{120}{x}=\frac{40}{y}\left(1\right)\\\frac{CD}{y}=\frac{40+CD}{x}\left(2\right)\\\frac{40}{y}+\frac{CD}{y}=4\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (2) => \(CD=\frac{40}{x-y}.y\) thay vào (3) ta được hệ : \(\hept{\begin{cases}\frac{120}{x}=\frac{40}{y}\\\frac{40}{y}+\frac{40}{x-y}=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=45\\y=15\end{cases}}\) (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc xe ô tô là 45 km/h

vận tốc xe máy là 15 km/h

Hình như đề bài phải là tì GTLN chứ bạn.

Nếu là GTLN thì ta làm như sau : 

\(x^2+\left(m-2\right)x-8=0\)

Xét \(\Delta=\left(m-2\right)^2-4.\left(-8\right)=\left(m-2\right)^2+32>0\)

=> Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức  Vi-et , ta có ; \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\left(m-2\right)\\x_1.x_2=-8\end{cases}}\)

Viết lại : \(\left(x^2_1-1\right)\left(x^2_2-4\right)=\left(x_1-1\right)\left(x_2-2\right)\left(x_1+1\right)\left(x_2+2\right)=\left(x_1.x_2+-2x_1-x_2+2\right)\left(x_1.x_2+2x_1+x_2+2\right)\)

\(=\left(x_1.x_2+2\right)^2-\left(2x_1+x_2\right)^2=-\left(2x_1+x_2\right)^2+\left(-8+2\right)^2\le36\)

Max = 36 <=> \(2x_1=x_2\) rồi từ đó suy ra giá trị của m.

sorry vì mình mới học lớp 5 nên ko giải được 

ai cũng ko giải đựơc như mình thì cho mình 1 k nhé

√(x² + 2x + 5) = √[(x + 1)² + 4] ≥ 2. 
√(2x² + 4x + 3) = √[2(x + 1)² + 1] ≥ 1. 
=> √(x² + 2x + 5) + √(2x² + 4x + 3) ≥ 3. 
___Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = - 1. 
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất là 3

ai tích mình mình sẽ tích lại

Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được BĐT : \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

Biểu diễn : \(A=\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2-x+\frac{5}{2}}+\sqrt{x^2-3x+7}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{3}{2}-x\right)^2+\left(\sqrt{\frac{19}{4}}\right)^2}\right)\ge\sqrt{2}.\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-x\right)^2+\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^2}=\sqrt{16+3\sqrt{19}}\)=> Min A = \(\sqrt{16+3\sqrt{19}}\)

Dấu "=" bạn tự xét nhé!

a) đen ta phẩy=m^2-m+2>0

vậy pt luôn................

b) biến đổi mẫu M

x1^2+x2^2-6x1x2=(x^1+x2)^2-8x1x2=(4m^2-8m+16=2(m-2)^2+8>=8

=>GTNN của M =-24/8=-3

khi m-2=0 khi m=2

Đặt p là nửa chu vi tam giác => \(p=\frac{a+b+c}{2}\)

=>\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\right)\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(CM bằng biến đổi tương đương)

được : \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{2p-a-c}=\frac{4}{b}\)

Tương tự : \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{c}\)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

hay \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c 
=> p - a = (a + b + c)/2 - a 
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2 
=> p - a = (b + c - a)/2 
=> 2(p - a) = b + c - a (1) 
Tương tự ta chứng minh được: 
2(p - b) = a + c - b (2) 
2(p - c) = a + b - c (3) 
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b) 
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ] 
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] 
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh 
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0 
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy 
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy 
<=> (x + y)² ≥ 4xy 
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0 
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y) 
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y) 
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)] 
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*) 
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4) 
Chứng minh tương tự ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5) 
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6) 
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a 
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a 
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c) 
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) ) 
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c 
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c. 

Khó quá à ! Mình mới học lớp 7 thôi ! Ai đồng ý nhấn nút Đúng ở cuối câu trả lời của mình nhé !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Thằng ni iu Trà Mi pải k ta

Viết lại: 

\(yx^2+2x\left(y-2\right)+y=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta'\ge0\)

\(\Rightarrow\left(y-2\right)^2-y^2\ge0\Leftrightarrow-4y+4\ge0\Leftrightarrow y\le1\)

Vậy giá trị lớn nhất của y là 1

\(pt\Leftrightarrow x^2y+2\left(y-2\right)x+y=0\)(*)

Nếu y=0 từ (*) => \(-4x=0\Rightarrow x=0\)

Nếu y\(\ne\)0 thì từ (*) có nghiệm theo x khi

\(\Delta'=\left(y-2\right)^2-y^2\ge0\Leftrightarrow4-4y\ge0\Leftrightarrow y\le1\)

Vậy y đạt GTLN=1 khi (*) có nghiệm kép

\(x_1=x_2=\frac{2-y}{y}=\frac{2-1}{1}=1\)

cách 1:CM\(\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (Nhân chéo lên ta thấy đpcm) 

áp dụng cho S ta được:

=>S = \(\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

S = \(\sqrt{100}-\sqrt{1}\)

S = 10 - 1 = 9 = 3² là SCP

cách 2 mình quên mất rùi sr

\(=\frac{2^2-1^2}{1^2.2^2}+\frac{3^2-2^2}{2^2.3^2}+\frac{4^2-3^2}{3^2.4^2}+...+\frac{2010^2-2009^2}{2009^2.2010^2}\)

\(=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2009^2}-\frac{1}{2010^2}=1-\frac{1}{2010^2}\)

\(=\frac{2^2-1^2}{1^2.2^2}+\frac{3^2-2^2}{2^2.3^2}+\frac{4^2-3^2}{3^2.4^2}+...+\frac{2010^2-2009^2}{2009^2.2010^2}\)

\(=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2009^2}-\frac{1}{2010^2}=1-\frac{1}{2010^2}\)