Lời giải:

\(\int \frac{dx}{e^x+1}=\int \frac{e^xdx}{e^x(e^x+1)}=\int \frac{d(e^x)}{e^x(e^x+1)}=\int \left ( \frac{d(e^x)}{e^x}-\frac{d(e^x+1)}{e^x+1} \right )\)

\(=\ln|e^x|-ln|e^x+1|+c=x-\ln(e^x+1)+c\)

chịu

Câu 1:Gọi biểu thức là $A$. Đặt \(\sqrt{e^x-1}=t\)

\(\Rightarrow e^x=t^2+1\Rightarrow d(e^x)=d(t^2+1)=2tdt=e^xdx=(t^2+1)dx\)

\(\Rightarrow \int \frac{2t^2}{t^2+1}dt=\int \left (2-\frac{2}{t^2+1} \right)dt\)

Đặt \(t=\tan m\Rightarrow dt=\frac{dm}{\cos^2 m}\Rightarrow \int \frac{2dt}{t^2+1}=\int 2dm=2m\)

\(\Rightarrow A=2t-2m+c=2\sqrt{e^x-1}-2\tan ^{-1} (\sqrt{e^x-1})+c\)

Câu 2: Đặt \(x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{dt}{\cos^2 t}, x^2+1=\frac{1}{\cos^2 t}\) với \(\frac{-\pi}{2} < t< \frac{\pi}{2}\)

Gọi biểu thức là $B$. Ta có

\(B=\int \frac{\cos t dt}{\sin ^4t}=\int \frac{d(\sin t)}{\sin^4 t}=\frac{-\sin ^{-3} t}{3}+c\) \(=-\frac{\sqrt{(x^2+1)^3}}{3x^3}+c\)

1) Đặt \(2+lnx=t\Leftrightarrow x=e^{t-2}\Rightarrow dx=e^{t-2}dt\)

\(I_1=\int\left(\frac{t-2}{t}\right)^2\cdot e^{t-2}\cdot dt=\int\left(1-\frac{4}{t}+\frac{4}{t^2}\right)e^{t-2}dt\\ =\int e^{t-2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt+4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt\)

Có:

\(4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt=-4\int e^{t-2}\cdot d\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}+4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt\\ \Leftrightarrow4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t^{ }}dt=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}\)

Vậy \(I_1=\int e^{t-2}dt-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}=e^{t-2}-\frac{4e^{t-2}}{t}+C\)

3) Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow t^2-1=\sqrt[3]{x^2}\Leftrightarrow x^2=\left(t^2-1\right)^3\)

\(d\left(x^2\right)=d\left[\left(t^2-1\right)^3\right]\Leftrightarrow2x\cdot dx=6t\left(t^2-1\right)^2\cdot dt\)

\(I_3=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2}{t}dt=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)dt=...\)

Đặt x=2t, dx=2dt

\(2sinx+5cosx+3=2sin2t+5cos2t+3\\ =4sint\cdot cost+5\left(cos^2t-sin^2t\right)+3\left(sin^2t+cos^2t\right)\\ =-2sin^2t+4sint\cdot cost+8cos^2t\)

Ta có:

\(I=\int\frac{2dt}{-2sin^2t+4sint\cdot cost+8cos^2t}\\ =\int\frac{\frac{dt}{cos^2t}}{-tan^2t+2tant+4}=\int\frac{d\left(tant\right)}{-tan^2t+2tant+4}\\ =\int\frac{-d\left(tant\right)}{\left(tant-1+\sqrt{5}\right)\left(tant-1-\sqrt{5}\right)}\\ =\frac{1}{2\sqrt{5}}\int\left(\frac{1}{tant-1+\sqrt{5}}-\frac{1}{tant-1-\sqrt{5}}\right)dt\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{5}}ln\left|\frac{tant-1+\sqrt{5}}{tant-1+\sqrt{5}}\right|+C\)

....

a) Dễ dàng chứng minh tam giác ABC và ACD đều

Suy ra AC=a, SA= AC.tan(gócSCA)=a.tan(60⁰)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{2}\)

b) Có 2 cách làm để tìm khoảng cách từ H đến mp(SCD), nhưng bạn nên chọn phương pháp tọa độ hóa cho dễ

Chọn A làm gốc tọa độ , các tia AD, AI, AS lần lượt trùng tia Ax, Ay, Az

Có ngay tọa độ các điểm \(S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)\) , \(D\left(a;0;0\right)\) , \(I\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

\(\Rightarrow C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

theo số liệu đã cho, dễ xác định được điểm H chia đoạn SI với tỷ lệ 2:1

\(\Rightarrow H\left(0;\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\)

Bây giờ chỉ cần viết pt (SCD) là tính được ngay khoảng cách từ H đến SCD

\(\left(SCD\right):\sqrt{3}x+y+z-\sqrt{3}=0\)

\(d\left(H\text{/}\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

Bạn ơi bạn chỉ mình cách bình thường được ko? Vì mình chưa học tọa độ hóa.

Giải như sau:

Do \(\cos^2x+\sin^2x=1,\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x},\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\) nên ta có

\(\int\frac{dx}{\cos^2x.sin^2x}=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx=\int d\left(\tan x\right)-\int d\left(\cot x\right)=\tan x-\cot x+c\)

cảm ơn bạn nhé :))

Giải như sau:

Ta biết rằng \(d\left(u\left(x\right)\right)=u\left(x\right)'d\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\int\frac{x}{2-x^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2\right)}{2-x^2}=-\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2-x^2\right)}{2-x^2}=-\frac{1}{2}ln\left|2-x^2\right|+c\)

P/s: Muốn tính nguyên hàm mà tử nhỏ hơn mẫu thứ nhất bạn có thể phan tích mẫu ra thành các nhân tử có bậc nhỏ như bậc của tử số, rồi từ đó đặt ẩn phụ hoặc tách ghép hợp lý. Thứ 2 là bạn có thể sử dụng phương pháp $d(u(x))=u(x)'dx$ để đưa ẩn về cùng một mối ( như cách mình giải bài này). Nói chung mình diễn đạt có thể không rõ ràng một chút nhưng chủ yếu bạn làm nhiều tìm tòi nhiều sẽ quen thôi :)

Gọi H là trung điểm của BC=> HA=HB=HC

Kết hợp với giả thiết

SA=SB=SC=>\(SH\perp BC,\Delta SHA=\Delta SHB=SHC\)

\(\begin{cases}SH\perp\left(ABC\right)\\\widehat{SAH}=60^0\end{cases}\)

Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

\(AC=AB=a\sqrt{2}\Rightarrow BC=2a\Rightarrow AH=a\)

Tam giác SHA vuông :

\(SH=AH.\tan60^0=a\sqrt{3}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.AC.SH=\frac{\sqrt{3}a^3}{3}\)

Gọi O; R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Suy ra P thuộc đường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. 

Xét tam giác SHA ta có : \(SA=\frac{SH}{\sin60^0}=2a\Rightarrow\Delta SBC\) là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2a.

Suy ra \(R=\frac{2a}{2\sin60^0}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Do CM là trung tuyến của SAC nên M là trung điểm SA.

\(\dfrac{V_{SMBC}}{V_{SABC}}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}\)

Ta có \(AC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{2}\) nên \(AH=\dfrac{1}{4}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

Suy ra \(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{2a^2}{16}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}\)

Do đó \(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{14}}{4}.\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{14}}{24}\)

Vậy \(V_{SMBC}=\dfrac{1}{2}V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{14}}{48}\)

sao mà CM lại là trung tuyến của SAC vậy bạn?

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^2+2mx+1-3m=-2x+4\iff x^2+2x(m+1)-3-3m=0$.

$\Delta'=(m+1)^2+3+3m=(m+1)(m+4)$

Hai đồ thì cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi $\Delta'>0\iff (m+1)(m+4)>0(*)$.

Giả sử: $A(a;-2a+4);B(b;-2b+4),(AB)\equiv (d): y+2x-4=0$.

Theo $Viet$, ta có: $a+b=-2m-2;ab=-3-3m$.

Theo GT: $S_{OAB}=\frac{1}{2}.d(O,AB).AB(2)$.

Mà: $d(O;AB)=\frac{|-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$.

$(2)\implies AB=\frac{2S_{OAB}}{d(O;AB)}=6\sqrt{10}$.

\iff AB^2=360\iff 5(a-b)^2=360\iff (a-b)^2=72\iff (a+b)^2-4ab=72$.

$\iff 4(m+1)^2+12(m+1)-72=0\iff m+1=3(n)...v...m+1=-6(n)(\text{ do (1) })$.

Vậy: $m=2...v...m=-7$ là hai giá trị cần tìm.