Ta có:

10²⁰¹¹ + 2³ = 1000...0 + 8 = 1000...08

                (2011 chữ số 0)(2010 chữ số 0)

=> tổng các chữ số của 10²⁰¹¹ + 2³ là: 1 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 8 = 9 chia hết cho 9

                                                                   2010 số 0

=> 10²⁰¹¹ + 2³ chia hết cho 9

Chứng tỏ \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\)là số nguyên

Để \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\in N\)thì \(10^{2011}+2^3\) chia hết cho 9

Ta có:10²⁰¹¹+2³=1000000..........000+8=10000........00008

                             2011 số 0                   2010 số 0

Có tổng các chữ số là:1+0+0+0+............+0+0+0+8=9 chia hết cho 9

                                           2010 số 0

\(\Rightarrow10^{2011}+2^3\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow\frac{10^{2011}+2^3}{9}\) là số tự nhiên

a) 5p + 3 là số nguyên tố

=> 5p + 3 lẻ

=> 5p chẵn

=> p chẵn

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2

=> p = 2

b) Vì p là số nguyên tố < 7, nên:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 4, là hợp số, loại.

Nếu p = 3 thì p + 6 = 9, là hợp số, loại.

Nếu p = 5 thì p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13 đều là số nguyên tố, chọn.

=> p = 5

a) Do 5p + 3 nguyên tố > 3 => 5p + 3 lẻ

=> 5p chẵn => p chẵn

Mà p nguyên tố và 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất => p = 2

Vậy p = 2

b) Do p + 2; p + 6; p + 8 đều nguyên tố => p lẻ

+ Với p = 3 thì p + 6 = 9, không là số nguyên tố, loại

+ Với p = 5 thì p + 2 = 7; p + 6 = 11; p + 8 = 13 đều là số nguyên tố, chọn

Mà p < 7 nên p = 5

Vậy p = 5

Cấm copy

Nếu p = 3k hay p = 3 thì 8p-1 = 23 là số nguyên tố. 8p+1 = 25 là hợp số.

Nếu p = 3k+1 thì 8p +1 = 8(3k+1) + 1 = 24k + 9 là hợp số.

Nếu p = 3k + 2 thì 8p -1 = 8(3k+2 ) - 1 = 24k + 15 là hợp số không thể là số nguyên tố.

Bài toán được chứng minh.

Xét p dưới dạng : 3k (khi đó p=3), 3k+1,3k+2(k∈N).

Dạng thứ ba không thỏa mãn đề bài (vì khi đó 8p−1 là hợp số), hai dạng trên đều cho 8p+1 là hợp số.

Nhận xét: y²>117=>y khác 2

+) Nếu x=2=>y²=4=117=121=>y=11

+) Nếu x>2 thì x,y đều lẻ

Ta có : y²-x²=117 =>(y-x)*(y+x)=117

Có x,y lẻ nên y-x chẵn mà 117=1*117=13*9

=> Ko có số nguyên tố x,y để : (y-x)*(y+x)=117

Có x,y lẻ nên y-x chằn mà 117=1*117=13*9

vậy x=2, y=11

x²-117=y²

=>x²-y²=117

=>(x-y)(x+y)=117

Nếu x<y thì x-y sẽ là số âm. Vì x;y là các số nguyên tố nên x+y là số dương. Mà để (x-y)(x+y)=117 thì x-y phải là số dương

Ta có: x+y>x-y

Vậy ta được bảng sau:

x;y là các số nguyên tố nên x=11 và y=2

Xét x=1 thì 1!=y²\(\Rightarrow\)y²=1\(\Rightarrow\)y=1(thỏa mãn)

Xét x=2 thì 1!+2!=y²\(\Rightarrow\)y²=3(loại)

Xét x=3 thì 1!+2!+3!=y²\(\Rightarrow\)y²=9\(\Rightarrow\)y=3(thỏa mãn)

Xét x=4 thì 1!+2!+3!+4!=y²\(\Rightarrow\)y²=33(loại)

Xét x>4 thì 1!+2!+.........+x!=y²

\(\Rightarrow\)(1!+2!+3!+4!)+.......+x!=y²

\(\Rightarrow\)33+120+...0+..........+.............0=y²

\(\Rightarrow\)y²=..........3 mà số chính phương ko có tận cùng là 3 nên loại

Vậy x\(\in\){1,3} thỏa mãn

Ta có

\(\frac{2014}{1}+\frac{2015}{2}+...+\frac{4026}{2013}=1+1+...+1+\left[\left(\frac{2014}{1}-1\right)+\left(\frac{2015}{2}-1\right)+...+\left(\frac{4026}{2013}-1\right)\right]\)

\(=2013+\left(\frac{2013}{1}+\frac{2013}{2}+...+\frac{2013}{2013}\right)=2013+2013\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}\right)\)          (1)

Ta kết hợp (1) và đề

=>\(\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}\right)x+2013=2013+2013\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}\right)\)

=> x=2013

\(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}\right)x+2013=\frac{2014}{1}+\frac{2015}{2}+...+\frac{4025}{2012}+\frac{4026}{2013}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}\right)x=\left(\frac{2014}{1}-1\right)+\left(\frac{2015}{2}-1\right)+...+\left(\frac{4025}{2012}-1\right)+\left(\frac{4026}{2013}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}\right)x=\frac{2013}{1}+\frac{2013}{2}+...+\frac{2013}{2012}+\frac{2013}{2013}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}\right)x=2013\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}\right)\)

\(\Rightarrow x=\frac{2013\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{2013}\right)}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}}=2013\)

Vậy x = 2013 thoả mãn đề bài.