Cho 3 số tự nhiên a,b,c thỏa mãn \(a^b=b^c=c^a\)
Chứng minh a = b = c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 7
Do a,b,c là số nguyên nên b chia hết c nên tồn tại số nguyên k sao cho a=k;b-c=k; b=ck. Giải ra ta được c=k/(k-1); b=k^2/(k-1); a=k. Do c nguyên dương nên k phải chia hết k-1 nên ta có c=k/(k-1) vì (k,k-1)=1 nên k-1=1 suy ra k=2. Xét P=a+b+c=k+k^2/(k-1)+k/(k-1)=2k^2/(k-1)=2.2^2/(2-1)=8=2^3. Hay P là lập phương của 1 số tự nhiên
24 tháng 10 2015
+) Chứng minh a3 - a luôn chia hết cho 2 và 3 với mọi số tự nhiên a:
a3 - a = a.(a2 -1) = a.(a - 1).(a+1)
Vì a- 1; a ; a+ 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích (a-1).a.(a+1) luôn chia hết cho 2 và 3
+) khi đó , với mọi số tự nhiên a; b;c ta có: (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 - c) luôn chia hết cho cả 2 và 3
=> (a3 + b3 + c3) - (a + b + c) luôn chia hết cho cả 2 và 3
=> (a3 + b3 + c3) - 2016 luôn chia hết cho cả 2 và 3. mà 2016 chia hết cho 2 và 3 nên (a3 + b3 + c3) chia hết cho cả 2 và 3
Vậy...
NT
1
26 tháng 3 2018
Giả sử cả 3 số a; b; c đều không chia hết cho 3
=> a; b; c chia cho 3 dư 0 hoặc 1
=> a2 ; b2 ; c2 chia cho 3 dư 1
=> a2 + b2 chia cho 3 dư 2 . Mà c2 chia cho 3 dư 1 nên a2 + b2 khác c2 ( trái với đề bài )
Vậy trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số chia hết cho 3
=> a.b.c chia hết cho 3
Ta luôn có 3ab chia hết cho 3
Vậy abc + 3ab chia hết cho 3
TX
0
7 tháng 1 2021
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{d+a}=2\)
\(1-\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+1-\dfrac{c}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)
\(\dfrac{b}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)
\(\dfrac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
<=>b(c+d)(d+a)+d(a+b)(b+c)=0 (vì c≠a)
<=>abc-acd+bd2-b2d=0
<=> (b-d)(ac-bd)=0 <=> ac - bd =0 (vì b≠d) <=> ac = bd
Vậy abcd =(ac)(bd)=(ac)2
24 tháng 1 2022
Điều kiện đề bài ⇒(2c)2=(a+c)(b+c)⇒(2c)2=(a+c)(b+c). Gọi d=gcd(a+c,b+c)d=gcd(a+c,b+c) thì do a−b=p∈Pa−b=p∈P nên d=1d=1hoặc d=pd=p
Nếu d=1d=1 thì a+c=x2,b+c=y2a+c=x2,b+c=y2 ( xy=2cxy=2c)
⇒p=(x−y)(x+y)⇒p=(x−y)(x+y). p=2p=2 thì vô lý. pp lẻ thì dễ thấy x=p+12=a−b+12x=p+12=a−b+12 và y=a−b−12y=a−b−12
⇒2c=xy=(a−b−1)(a−b+1)4⇒8c+1=(a−b)2⇒2c=xy=(a−b−1)(a−b+1)4⇒8c+1=(a−b)2 là scp
Nếu d=pd=p thì a+c=pm2,b+c=pn2a+c=pm2,b+c=pn2 ( 2c=pmn2c=pmn)
⇒(m−n)(m+n)=1→m=1,n=0⇒(m−n)(m+n)=1→m=1,n=0 (loại)
Z
Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn điều kiện a^2 + b^2 = c^2 thì abc chia hết cho 60
2
29 tháng 8 2017
Giả sử a,b,c đều không chia hết cho 3 thì phải chia 3 dư 1
thay vào chia 3 dư 2 còn
chia 3 dư 1 (loại)
Do đó a,b,c phải tồn tại một số chia hết cho 3 ,
Lại chúng minh tương tự để đc một trong 3 số chia hết cho 4 và 5
Rồi suy ra abc chia hêt cho 3.4.5 = 60
16 tháng 1 2019
Giả sử a,b,c đều không chia hết cho 3 thì phải chia 3 dư 1
thay vào chia 3 dư 2 còn chia 3 dư 1 (loại)
Do đó a,b,c phải tồn tại một số chia hết cho 3 ,
Lại chúng minh tương tự để đc một trong 3 số chia hết cho 4 và 5
suy ra abc chia hêt cho 3.4.5 = 60
Giả sử 2 số trong 3 số không bằng nhau :
a < b (1)
Trong hai lũy thừa bằng nhau thì lũy thừa có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn và ngược lại
Vì vậy :
Do : ab = bc mà a < b \( \implies\) c < b
Ta có : bc = ca mà c < b \( \implies\) c < a
Ta có : ca = ab mà c < a \( \implies\) a > b (2)
Từ (1) ; (2) \( \implies\) Mâu thuẫn
\( \implies\) a = b = c (đpcm)