K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VD
2
NH
1
HD
25 tháng 9 2017
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ac\right)=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ac\right)=3abc\)
Đặt \(\left(a+b+c,ab+bc+ac,abc\right)=\left(p,q,r\right)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3+3pq+3r=p\left(p^2-3q\right)+3r=3pr+3r\)
Vậy .....
Chúc bạn học tốt!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 9 2017
Lời giải:
Ta có:
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)
Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)
Chắc bạn viết thiếu.
30 tháng 3 2022
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\ge a.2bc+b.2ca+c.2ab=2abc+2abc+2abc=6abc\)
NT
0
0
UK
11 tháng 9 2017
\(VT=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
Bài này có điều kiện a,b,c không âm thì phải
20 tháng 4 2020
Đặt \(A=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)
Hmm... Ta có BĐT phụ : \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)"=" <=> x = y
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+ac+bc}{abc}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3ab+3ac+3bc}{6abc}\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3ab+3ac+3bc}{6abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}{6abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6abc}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
TL
1
15 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )
=> a( b2 + c2 ) ≥ 2abc
Tương tự : b( c2 + a2 ) ≥ 2abc ; c( a2 + b2 ) ≥ 2abc
Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c