0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 3 2022
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\ge a.2bc+b.2ca+c.2ab=2abc+2abc+2abc=6abc\)
TL
1
15 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )
=> a( b2 + c2 ) ≥ 2abc
Tương tự : b( c2 + a2 ) ≥ 2abc ; c( a2 + b2 ) ≥ 2abc
Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Thật vậy:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 4 2020
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$=\frac{1}{2}(a+b+c).6abc=3abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)$ (đpcm)
14 tháng 10 2015
a) ta có (x-y)2>=0 với mọi x,y
=>x2-2xy+y2>=0 với mọi x,y
=>x2+y2>=2xy với mọi x,y
=>(x2+y2)/xy>=2 với mọi x,y>0
=>x/y+y/x>=2 với mọi x,y>0
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
(a2+1)/1+1/(a2+1)>=2
=>a2+1+1/(a2+1)>=2
=>a2+1/(a2+1)>=1 (dpcm)
b)áp dụng bất đẳng thức x2+y2>=2xy (chứng minh trên) ta có:
a2+b2>=2ab
=>(a2+b2).c>=2abc (1)
b2+c2>=2bc
=>(b2+c2).a>=2abc (2)
a2+c2>=2ac
=>(a2+c2).b>=2abc (3)
từ (1),(2),(3) cộng vế với vế ta sẽ suy ra đc dpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2019
\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z+xy+xz+yz=6\)
Cần chứng minh \(P=x^2+y^2+z^2\ge3\)
Ta có các BĐT quen thuộc:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\)
\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
NT
0