Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta=16+4m^2>0\) \(\forall m\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=-m^2\end{matrix}\right.\)
\(A=\left|\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\right|=\left|4\left(x_1-x_2\right)\right|\)
\(\Leftrightarrow A^2=16\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{A^2}{16}=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\frac{A^2}{16}=16+4m^2\ge16\)
\(\Rightarrow A^2\ge16^2\Rightarrow A\ge16\)
\(\Rightarrow A_{min}=16\) khi \(m=0\)
\(a)\) Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(\Delta'=\left(1-m\right)^2-m^2+3m=1-2m+m^2-m^2+3m=m+1>0\)\(\Leftrightarrow\)\(m>-1\)
Vậy để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(m>-1\)
\(b)\) Ta có : \(T=x_1^2+x_2^2-\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)
\(T=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(1-m\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)
Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(1-m\right)\\x_1x_2=m^2-3m\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(T=4\left(1-m\right)^2-2\left(m^2-3m\right)-2\left(1-m\right)\left(1-m\right)+m^2-3m\)
\(T=4m^2-8m+4-2m^2+6m-2m^2+4m-2+m^2-3m\)
\(T=m^2-m+2=\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=\frac{1}{2}\) ( thoả mãn )
Vậy GTNN của \(T=\frac{7}{4}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Đk để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow\left(6m-3\right)^2+8\left(3m-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow36m^2+1-12m\ge0\)(LĐ)
Theo hệ thức Vi-et:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6m-3\\x_1x_2=\frac{-3m+1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(A=36m^2+9-36m+2\left(3m-1\right)\)
\(A=36m^2-30m+7\)
\(A=\left(m-\frac{5}{12}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
\(A_{min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow m=\frac{5}{12}\left(TM\right)\)
Trời đất, nàng vứt của người ta đi 2 chữ quan trọng nhất là "lớn nhất" rồi nàng ơi =))
Có 2 chữ đó thì bài này dễ giải quyết thôi
Dễ dàng c/m pt có 2 nghiệm pb
Đặt \(P=\left|\frac{x_1+x_2+4}{x_1-x_2}\right|\Rightarrow P^2=\frac{\left(x_1+x_2+4\right)^2}{\left(x_1-x_2\right)^2}=\frac{\left(x_1+x_2+4\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(P^2=\frac{\left(4m+4\right)^2}{16m^2-4\left(3m^2-3\right)}=\frac{16\left(m+1\right)^2}{16m^2-12m^2+12}=\frac{4\left(m+1\right)^2}{m^2+3}\)
\(P^2=\frac{12m^2+24m+12}{3\left(m^2+3\right)}=\frac{16\left(m^2+3\right)-4m^2+24m-36}{3\left(m^2+3\right)}=\frac{16}{3}-\frac{4\left(m-3\right)^2}{3\left(m^2+3\right)}\le\frac{16}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=3\)
\(\Delta=4m^2-12m+9+16m=4m^2+4m+9=\left(2m+1\right)^2+8>0\)
\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=-4m\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(A=\left(2m-3\right)^2+8m\)
\(A=4m^2-4m+9=\left(2m-1\right)^2+8\ge8\)
\(\Rightarrow A_{min}=8\) khi \(2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)
\(\Delta=m^2-4\left(-m^2+m-4\right)=5m^2-4m+16=5\left(m-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{76}{5}>0\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
Ta có \(a=1\); \(c=-m^2+m-4=-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{15}{4}< 0\)
\(\Rightarrow ac< 0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm trái dấu
Mà \(x_1< x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=-x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{matrix}\right.\)
\(\left|x_2\right|-\left|x_1\right|=2\)
\(\Leftrightarrow x_2+x_1=2\)
\(\Leftrightarrow m=2\)
a. Để pt có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta>0\) <=> (m+1)2-1(4m-2)>0
m2+2m+1 -4m+2>0
m2-2m +3 >0
a) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m-2\right)=m^2+2m+1-4m+2\)
\(\Delta'=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2\)
ta có : \(\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi \(x\) \(\Rightarrow\left(m-1\right)^2+2\ge2>0\) với mọi \(m\)
\(\Leftrightarrow\Delta'>0\) với mọi \(m\) \(\Leftrightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\)
b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{2\left(m+1\right)}{1}=2m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4m-2}{1}=4m-2\end{matrix}\right.\)
ta có : \(x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)=4m-2-2\left(2m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-2x_1-2x_2=4m-2-4m-4=-6\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-2x_1-2x_2+6=0\)
vậy hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m là \(x_1x_2-2x_1-2x_2+6=0\)
c) ta có : phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\left(tmđk\right)\\4m-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow4m< 2\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{4}\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)
vậy \(x< \dfrac{1}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
d) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=4m-2\end{matrix}\right.\)
ta có : \(x_1^2+x_2^2-2x_1^2x_2-2x_1x_2^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-2\left(4m-2\right)-2\left(4m-2\right)\left(2m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-8m+4-2\left(8m^2+8m-4m-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-8m+4-16m^2-16m+8m+8=0\)
\(\Leftrightarrow-12m^2-8m+16=0\Leftrightarrow-3m^2-2m+4=0\)
\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-3\right)\left(4\right)=1+12=13>0\)
\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(m_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{-3}\) ; \(m_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{-3}\)
vậy \(m=\dfrac{1+\sqrt{13}}{-3};m=\dfrac{1-\sqrt{13}}{-3}\)
a/ \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-3m\right)=m+1>0\Rightarrow m>-1\)
b/ Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)
\(T=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)
\(=4\left(m-1\right)^2-2\left(m^2-3m\right)-2\left(m-1\right)\left(m-1\right)+m^2-3m\)
\(=m^2-m+2=m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\)
\(=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\)
\(\Rightarrow T_{min}=\frac{7}{4}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)