K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
27 tháng 3 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}=6\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow VT=a+b\ge\frac{2\sqrt{ab}\cdot6\sqrt{ab}}{9+ab}=\frac{12ab}{9+ab}=VP\)
Bài 2:
a)\(\frac{a^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\ge a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\le3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{b^2c^2}\le\frac{1}{3}\left(bc+b+c\right)\). Tương tự r` cộng theo vế ta có ĐPCM
b)\(\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}b\sqrt[3]{a^2}\)
\(\ge a-\frac{2}{3}b\frac{\left(a+a+1\right)}{3}=a-\frac{2b}{9}-\frac{4ab}{9}\)
Vậy \(VT\ge a+b+c-\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{4}{9}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge\frac{7}{3}-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{27}=1=VP\)
HP
2
TN
27 tháng 3 2017
Từ \(abc=1\) VÀ \(a,b,c>0\) áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3;a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(VT=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
\(=\frac{a^4}{\left(1+ab\right)\left(1+ac\right)}+\frac{b^4}{\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)}+\frac{c^4}{\left(1+ca\right)\left(1+cb\right)}\)
\(=\frac{a^4}{a+ab+ac+1}+\frac{b^4}{b+bc+ba+1}+\frac{c^4}{c+ca+cb+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c+2\left(ab+bc+ca\right)+3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\left(a+b+c\ge3\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\)( dễ c/m rằng \(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\))
Vậy ta cần c/m \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\ge3\). Ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t+3\right)\ge0\forall t\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
TN
27 tháng 3 2017
Hay sử dụng Am-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Thiết lập 2 BĐT tương tự r` cộng theo vế
KB
5 tháng 7 2021
Ta có : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2}\)
Thấy : \(0< ab\left(a^2+b^2-ab\right)\le\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
CMTT ; ta có : \(\dfrac{b^2+c^2-bc}{b^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right);\dfrac{c^2+a^2-ac}{a^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge3-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right)\)
Thấy : \(\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{\left(a+c\right)ac+\left(b+c\right)bc+ab\left(a+b\right)}{abc}=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)( do abc = 1 )
Áp dụng BĐT Schur ta được : \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc=\Sigma a^3+3\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge3-\dfrac{1}{4}\left(\Sigma a^3+3\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\Sigma a^3\cdot\)
Khi đó : \(\Sigma a^3+\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3}{4}\Sigma a^3+\dfrac{9}{4}\ge\dfrac{3}{4}.3+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}\)
" = " <=> a = b = c = 1
Vậy ...
T
26 tháng 4 2020
https://artofproblemsolving.com/community/c1101515h2076182_lemma_by_vo_quoc_ba_can Sao olm ko hiện link
26 tháng 4 2020
Đề ra sai,nếu a,b,c không dương thì với 2 số âm 1 số dương thì chắc chắn có ít nhất một cái căn bậc 2 sẽ không tồn tại.
Chứng minh:trong 2 số âm 1 số dương thì chắc chắn tốn tại một căn thức mà cả tử và mẫu đều trái dấu
Không mất tính tổng quát giả sử đó là \(\sqrt{\frac{a}{b}}\)
Khi đó \(\frac{a}{b}< 0\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b}}\) không tồn tại
Vậy ta có đpcm