HP
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
27 tháng 3 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}=6\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow VT=a+b\ge\frac{2\sqrt{ab}\cdot6\sqrt{ab}}{9+ab}=\frac{12ab}{9+ab}=VP\)
Bài 2:
a)\(\frac{a^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\ge a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\le3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{b^2c^2}\le\frac{1}{3}\left(bc+b+c\right)\). Tương tự r` cộng theo vế ta có ĐPCM
b)\(\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}b\sqrt[3]{a^2}\)
\(\ge a-\frac{2}{3}b\frac{\left(a+a+1\right)}{3}=a-\frac{2b}{9}-\frac{4ab}{9}\)
Vậy \(VT\ge a+b+c-\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{4}{9}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge\frac{7}{3}-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{27}=1=VP\)
PN
14 tháng 3 2016
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với ba số \(a,b,c\) và ba số dương \(x,y,z\) bất kỳ với chú ý rằng \(a^2b^2c^2=1\), ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(x=ab;\) \(y=bc;\) và \(z=ca\) thì \(xyz=1\) \(\left(2\right)\) với \(x;\), \(y;\) và \(z\) \(>0\)
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\), \(y;\) và \(z\), ta được:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) \(\Leftrightarrow\) \(x+y+z\ge3\) (do \(\left(2\right)\)), tức \(ab+bc+ca\ge3\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\) \(\left(3\right)\) ta suy ra \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
14 tháng 3 2016
thông điệp nhỏ :
hãy tích nếu như ko muốn tích
ai tích mình tích lại nh nha
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\text{VT}=[\frac{a+1}{4}+\frac{1}{a+1}+\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}][\frac{b+1}{4}+\frac{1}{b+1}+\frac{3}{4}b-\frac{1}{4}][\frac{c+1}{4}+\frac{1}{c+1}+\frac{3}{4}c-\frac{1}{4}]$
$\geq [2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}][2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}b-\frac{1}{4}][2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}c-\frac{1}{4}]$
$=\frac{3}{4}(a+1).\frac{3}{4}(b+1).\frac{3}{4}(c+1)$
$=\frac{27}{64}(a+1)(b+1)(c+1)$
$\geq \frac{27}{64}.2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}$
$=\frac{27}{64}.8\sqrt{abc}\geq \frac{27}{64}.8=\frac{27}{8}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AQ
0
Từ \(abc=1\) VÀ \(a,b,c>0\) áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3;a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(VT=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
\(=\frac{a^4}{\left(1+ab\right)\left(1+ac\right)}+\frac{b^4}{\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)}+\frac{c^4}{\left(1+ca\right)\left(1+cb\right)}\)
\(=\frac{a^4}{a+ab+ac+1}+\frac{b^4}{b+bc+ba+1}+\frac{c^4}{c+ca+cb+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c+2\left(ab+bc+ca\right)+3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\left(a+b+c\ge3\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\)( dễ c/m rằng \(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\))
Vậy ta cần c/m \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\ge3\). Ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t+3\right)\ge0\forall t\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Hay sử dụng Am-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Thiết lập 2 BĐT tương tự r` cộng theo vế