Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(P=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{1-2(ab+bc+ac)}\)
\(=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}\) với $x=ab+bc+ac$
Theo BĐT AM-GM:
$1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow x=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$
Vậy ta cần tìm min $P=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $0< x\leq \frac{1}{3}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x})[2x+(1-2x)]\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$
$\Leftrightarrow P\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=11+2\sqrt{30}$
Vậy $P_{\min}=11+2\sqrt{30}$
Giá trị này đạt tại $x=3-\sqrt{\frac{15}{2}}$
a) Áp dụng bất đẳng thức Schur với \(r=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2b+ca^2-a^3+ab^2+b^2c-b^3+c^2a+bc^2-c^3\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{b^2}.b^2}=3a\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c^2}+c+c\ge3b\\\dfrac{c^3}{a^2}+a+a\ge3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
c) Ta có \(abc=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+c+2\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\\\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{16}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{16}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{3}{16}\) ( đpcm )
\(4\left(a^3+b^3\right)-6\left(a^2+b^2\right)\)
\(=4\left(a+b\right)^3-12ab\left(a+b\right)-6\left(a+b\right)^2+12ab\)
\(=4-6-12ab+12ab\)
=-2
\(A+\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{1}{4}\left(b+1\right)\right)+\left(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{1}{4}\left(c+1\right)\right)+\left(\dfrac{c^2}{a+1}+\left(a+1\right)\right)\)\(A+\dfrac{3}{2}\ge a+b+c=3\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
b: Ta có: \(N=a^3+b^3+3ab\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\)
\(=1-3ab+3ab\)
=1
Chơi trò này đi :)
Ta có cái này : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta đã biết cái này : \(a+b+c=2007\)
Vì ta có cái đã biết kia nên đương nhiên ta sẽ có cái này
\(a^3+b^3+c^3=2007^3\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=2007^3\)
Về cái này : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta thấy : \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Nên \(\Rightarrow a=b=c\)
Mà cái : \(3abc=2007^3\)
Ta đc : \(a=\frac{2007^3}{3bc}\)
\(b=\frac{2007^3}{3ac}\)
\(c=\frac{2007^3}{3ab}\)
Hoặc như cái này : \(3abc=2007^3\Rightarrow abc=8084294343\)
Thử abc vào đến sáng mai ra thôi.
Hc tốt và tớ lm bừa
@ミ★ɮɾαїŋċɦїℓɗ★彡: Nếu bạn chưa thuộc hết tất cả các hằng đẳng thức thì xin bạn học lại, làm gì có cái chuyện mà a + b + c = 2007 lại có được a3 + b3 + c3 = 20073 được. Không có cái định luật nào như vậy, dù nhânn hay cộng hay làm gì với cả hai vế đi nữa cùng không thể làm ra được ohương tình a3 + b3 + c3 = 20073 được. Và còn nữa. a3 + b3 + c3 khác hoàn toàn với ( a + b + c )3. Nhá bạn.
Đẳng thức này mới đunsg này, a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c).
P/S: Mik sẽ thử làm lại xme nó như thế nào. Vì bài này khá khó, nó xuất hiện vài hằng đẳng thức không như sách giáo khoa.
Ta có : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2}\)
Thấy : \(0< ab\left(a^2+b^2-ab\right)\le\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
CMTT ; ta có : \(\dfrac{b^2+c^2-bc}{b^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right);\dfrac{c^2+a^2-ac}{a^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge3-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right)\)
Thấy : \(\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{\left(a+c\right)ac+\left(b+c\right)bc+ab\left(a+b\right)}{abc}=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)( do abc = 1 )
Áp dụng BĐT Schur ta được : \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc=\Sigma a^3+3\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge3-\dfrac{1}{4}\left(\Sigma a^3+3\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\Sigma a^3\cdot\)
Khi đó : \(\Sigma a^3+\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3}{4}\Sigma a^3+\dfrac{9}{4}\ge\dfrac{3}{4}.3+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}\)
" = " <=> a = b = c = 1
Vậy ...
Khuya rồi còn đăng à bạn ?