Xét \(\Delta\)MPQ và \(\Delta\)PMN có: 

MP chung

\(\widehat{QPM}\) = \(\widehat{PMN}\)  (2 góc so le trong)

\(\widehat{QMP}\) = \(\widehat{NPM}\) (2 góc so le trong)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)MPQ = \(\Delta\)PMN (g-c-g)

\(\Rightarrow\) PQ = MN; MQ = PN (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)MPQ và \(\Delta\)PMN có:

         MP chung

         MN = PQ 

  \(\widehat{QPM}\) = \(\widehat{PMN}\) ( 2 góc so le trong)

⇒\(\Delta\)MPQ = \(\Delta\)PMN ( cạnh góc cạnh)

\(\Rightarrow\) MQ = NP (đpcm)

⇒ \(\widehat{QMP}\) = \(\widehat{NPM}\) 

   Mà hai góc \(\widehat{QMP}\) và \(\widehat{NPM}\) ở vị trí so le trong và bằng nhau nên:

   QM // NP (đpcm)

mik lm nếu bn like =)

Bài 4:
a) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ. Vì tam giác ACE vuông cân tại E, nên góc CAE = 45 độ. Từ đó suy ra góc CAE + góc BAC = 90 độ, tức là EC vuông góc với BC.

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ. Vì tam giác ACE vuông cân tại E, nên góc CAE = 45 độ. Từ đó suy ra góc BAE = góc BAC + góc CAE = 45 độ + 45 độ = 90 độ. Do đó, tứ giác ABCE là tứ giác vuông.

Bài 5:
a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AM và BH. Ta cần chứng minh góc BAK = góc CAK.
Vì CM = CA, ta có góc CMA = góc CAM. Vì đường thẳng AM song song với CA, nên góc CMA = góc KAB (do AB cắt đường thẳng AM tại I). Từ đó suy ra góc CAM = góc KAB.
Vì AH là đường cao, nên góc BAH = góc CAH. Từ đó suy ra góc BAK = góc CAK.
Vậy, AM là phân giác của góc BAH.

b) Ta có AB + AC = AB + AH + HC = BH + HC > BC (theo bất đẳng thức tam giác).
Vậy, luôn luôn có AB + AC < AH + BC.

bài 1 :

a) Ta có MQ//NP (theo giả thiết).

Chứng minh MN = PQ:
Vì MN//PQ và MQ//NP, ta có hai tam giác MNP và QMQ' đồng dạng (theo nguyên lý đồng dạng của tam giác có hai cặp góc tương đồng bằng nhau).

Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác là:
MN/MQ = NP/QM

Vì MQ//NP, nên ta có tỉ số đồng dạng:
MN/MQ = NP/NP

Từ đó suy ra: MN = PQ.

Chứng minh MQ = NP:
Vì MQ//NP, nên ta có tỉ số đồng dạng:
MQ/MN = NP/PQ

Vì MN = PQ (đã chứng minh ở trên), nên ta có tỉ số đồng dạng:
MQ/MN = NP/NP

Từ đó suy ra: MQ = NP.

b) Ta có MN = PQ (theo giả thiết).

Chứng minh MQ//NP:
Giả sử MQ không // NP. Khi đó, MQ và NP sẽ cắt nhau tại một điểm O.

Vì MN//PQ và MQ//NP, nên ta có hai tam giác MNP và QMQ' đồng dạng (theo nguyên lý đồng dạng của tam giác có hai cặp góc tương đồng bằng nhau).

Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác là:
MN/MQ = NP/QM

Từ đó suy ra: MN/MQ = NP/NP

Vì MQ//NP, nên ta có tỉ số đồng dạng:
MN/MQ = NP/NP

Từ đó suy ra: MN = PQ.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết MN = PQ (đã cho). Vậy giả sử MQ không // NP là sai.

Do đó, ta kết luận rằng MQ//NP.

Chứng minh MQ = NP:
Vì MQ//NP, nên ta có tỉ số đồng dạng:
MQ/MN = NP/PQ

Vì MN = PQ (đã chứng minh ở trên), nên ta có tỉ số đồng dạng:
MQ/MN = NP/NP

Từ đó suy ra: MQ = NP.

bài 2 :

a) Ta có MN = MQ và góc M = 50 độ. Vì tứ giác MNPQ là tứ giác cân (hai cạnh bằng nhau), nên góc N = góc Q.

Vì tổng các góc trong một tứ giác bằng 360 độ, ta có:
góc M + góc N + góc P + góc Q = 360 độ

Thay giá trị vào, ta có:
50 độ + góc N + 90 độ + góc N = 360 độ

Simplifying the equation:
140 độ + 2góc N = 360 độ

Trừ 140 độ từ hai phía:
2góc N = 220 độ

Chia cho 2:
góc N = 110 độ

Vậy số đo góc MQN là 110 độ.

b) Ta đã biết góc P = 90 độ. Vì tứ giác MNPQ là tứ giác cân (hai cạnh bằng nhau), nên góc M = góc Q.

Vì tổng các góc trong một tứ giác bằng 360 độ, ta có:
góc M + góc N + góc P + góc Q = 360 độ

Thay giá trị vào, ta có:
góc M + 110 độ + 90 độ + góc M = 360 độ

Simplifying the equation:
2góc M + 200 độ = 360 độ

Trừ 200 độ từ hai phía:
2góc M = 160 độ

Chia cho 2:
góc M = 80 độ

Vậy số đo góc MQP là 80 độ.

c) Để chứng minh MP vuông góc với NQ, ta cần chứng minh rằng góc MPN + góc NQP = 90 độ.

Ta đã biết góc P = 90 độ. Vì tứ giác MNPQ là tứ giác cân (hai cạnh bằng nhau), nên góc M = góc Q.

Vì tổng các góc trong một tứ giác bằng 360 độ, ta có:
góc M + góc N + góc P + góc Q = 360 độ

Thay giá trị vào, ta có:
góc M + góc N + 90 độ + góc M = 360 độ

Simplifying the equation:
2góc M + góc N = 270 độ

Vì góc M = góc Q, nên ta có:
2góc M + góc M = 270 độ

 Ta sẽ chứng minh rằng, một đa giác lồi có \(n\) đỉnh \(\left(n\ge3\right)\) thì tổng số đo các góc trong là \(180^o\left(n-2\right)\). Thật vậy, với \(n=3\) thì điều này tương đương với việc tổng số đo của các góc trong của 1 tam giác bằng \(180^o\) , luôn đúng. Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\). Khi đó ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(n=k+1\).

 Xét đa giác \(A_1A_2...A_{k+1}\) gồm \(k+1\) đỉnh. Ta kẻ đường chéo \(A_1A_k\) của đa giác. Khi đó tổng số đo các góc trong của đa giác \(A_1A_2...A_{k+1}\) chính bằng tổng của tổng các số đo của các góc trong đa giác \(A_1A_2...A_k\) và tam giác \(A_1A_kA_{k+1}\) và bằng:

 \(180^o\left(k-2\right)+180^o=180^o\left(k+1-2\right)\)

 Vậy khẳng định đúng với \(n=k+1\), ta có đpcm. Từ đây suy ra tổng các góc trong của ngũ giác là \(180^o\left(5-2\right)=540^o\), suy ra tổng các góc ngoài của ngũ giác là \(5.180^o-540^o=360^o\).

360

chuyển vế sang r phân tích thành nhân tử, có thể dùng máy tính bỏ túi nhé bạn

câu 1: 9\(x^2\) + 12\(x\) + 5  =11

           (3\(x\))² + 2.3.\(x\) .2 + 2² + 1 = 11

           (3\(x\) + 2)²      =  11 - 1

             (3\(x\) + 2)²    = 10

               \(\left[{}\begin{matrix}3x+2=\sqrt{10}\\3x+2=-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

                \(\left[{}\begin{matrix}3x=\sqrt{10}-2\\3x=-\sqrt{10}-2\end{matrix}\right.\)

                  \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{10}-2}{3}\\x=\dfrac{-\sqrt{10}-2}{3}\end{matrix}\right.\)

                 Vậy S = {\(\dfrac{-\sqrt{10}-2}{3}\); \(\dfrac{\sqrt{10}-2}{3}\)} 

  Câu 2: 6\(x^2\) + 16\(x\) + 12 = 2\(x^2\)

              6\(x^2\) + 16\(x\) + 12 - 2\(x^2\) = 0

              4\(x^2\) + 16\(x\) + 12 = 0

              (2\(x\))² + 2.2.\(x\).4 + 16 - 4 = 0

               (2\(x\) + 4)²   = 4

               \(\left[{}\begin{matrix}2x+4=2\\2x+4=-2\end{matrix}\right.\) 

                \(\left[{}\begin{matrix}2x=-2\\2x=-6\end{matrix}\right.\)

                 \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

              S = { -3; -1}

3, 16\(x^2\) + 22\(x\) + 11 = 6\(x\) + 5

    16\(x^2\) + 22\(x\) - 6\(x\)  + 11 - 5 = 0

     16\(x^2\) + 16\(x\) + 6 = 0

      (4\(x\))² + 2.4.\(x\) . 2 + 2² + 2 = 0

       (4\(x\) + 2)² + 2 = 0 (1) 

Vì (4\(x\)+ 2)² ≥ 0 ∀ ⇒ (4\(x\) + 2)² + 2 > 0 ∀ \(x\) vậy (1) Vô nghiệm

             S = \(\varnothing\)

Câu 4. 12\(x^2\) + 20\(x\) + 10 = 3\(x^2\) - 4\(x\) 

            12\(x^2\) + 20\(x\) + 10 - 3\(x^2\) + 4\(x\) = 0

            9\(x^2\) + 24\(x\) + 10 = 0

           (3\(x\))² + 2.3.\(x\).4 + 16 - 6 = 0

          (3\(x\) + 4)² = 6

            \(\left[{}\begin{matrix}3x+4=\sqrt{6}\\3x+4=-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

              \(\left[{}\begin{matrix}3x=-4+\sqrt{6}\\3x=-4-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

              \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{6}-4}{3}\\x=-\dfrac{\sqrt{6}+4}{3}\end{matrix}\right.\)

                    S = {\(\dfrac{-\sqrt{6}-4}{3}\); \(\dfrac{\sqrt{6}-4}{3}\)}

Để chứng minh bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2, ta sẽ chứng minh từng phần.

Phần 1: Chứng minh 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b

Ta có:
a/b + b/c + c/a > 3√(a/b * b/c * c/a) = 3√(abc/(abc)) = 3

Vậy ta có: a/b + b/c + c/a + b/a + c/b + a/c > 3 + 1 + 1 = 5

Phần 2: Chứng minh a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Ta có:
a/b + b/c + c/a < a/b + b/a + b/c + c/b = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b) ≥ 2√[(a+b)/(b+c) * (b+c)/(a+b)] = 2

Do đó ta có: a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Từ đó, ta suy ra bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2.

Để chứng minh bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2, ta sẽ chứng minh từng phần.

Phần 1: Chứng minh 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b

Ta có:
a/b + b/c + c/a > 3√(a/b * b/c * c/a) = 3√(abc/(abc)) = 3

Vậy ta có: a/b + b/c + c/a + b/a + c/b + a/c > 3 + 1 + 1 = 5

Phần 2: Chứng minh a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Ta có:
a/b + b/c + c/a < a/b + b/a + b/c + c/b = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(a+b) ≥ 2√[(a+b)/(b+c) * (b+c)/(a+b)] = 2

Do đó ta có: a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2

Từ đó, ta suy ra bất đẳng thức 1 < a/b+c+b/c+a+c/a+b < 2.

Ai giúp em với ạ

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vậy ta có AH = HD.

Vì D là trung điểm của BC nên BD = CD.

Vì góc DE vuông góc với AC tại E nên tam giác ADE vuông góc tại E.

Vì F là điểm đối xứng của E qua D nên tam giác ADF cũng tại D.

Ta có:
- Tam giác ADE vuông tại E và tam giác ADF vuông tại D có cạnh chung AD.
- Tam giác ADE và tam giác ADF có cạnh AD bằng nhau (vì F là điểm đối xứng của E qua D).

Vậy tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác cân có cạnh chung AD.

Do đó, ta có AE = AF và DE = DF.

Vì M là trung điểm của HC nên ta có HM = MC.

Vì FM là đường trung tuyến của tam giác HAC nên ta có FM = \(\frac{1}{2}\)AC.

Ta cần chứng minh FM vuông góc với AM.

Ta có:
- Tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác cân có cạnh chung AD.
- AE = AF và DE = DF.

Do đó, tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác đồng dạng (theo nguyên tắc đồng dạng cận-cạnh-cạnh).

Do đó, ta có \(\frac{AE}{DE} = \frac{AF}{DF}\).

Vì AE = AF và DE = DF nên ta có \(\frac{AE}{DE} = \frac{AF}{DF} = 1\).

Vậy tam giác ADE và tam giác ADF là hai tam giác đồng dạng cân.

Do đó, ta có góc EAD = góc FAD và góc AED = góc AFD.

Vì góc EAD + góc AED = 90° (do tam giác ADE vuông góc tại E) nên góc FAD + góc AFD = 90°.

Do đó, ta có góc FAM = 90°.

Do đó, FM vuông góc với AM.