Biết $\sin x+\cos x=m$.
a) Tính $\sin x \cos x$ và $\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|$ theo $m$.
b) Chứng minh rằng $|m| \leq \sqrt{2}$.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì nên mặt khác suy ra .
Do đó .
b) Vì nên và .
c) Vì mặt khác nên .
Ta có .
1234567890-01234567890-=qưertyuiop[]\';;lkjhfgdsazxcvbnm,./\'l;[]7894561230.+-
Vì A+B+C=180^{\circ}A+B+C=180∘ nên V T=\dfrac{\sin ^{3} \dfrac{B}{2}}{\cos \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}+\dfrac{\cos ^{3} \dfrac{B}{2}}{\sin \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}-\dfrac{\cos \left(180^{\circ}-B\right)}{\sin B} \cdot \tan BVT=cos(2180∘−B)sin32B+sin(2180∘−B)cos32B−sinBcos(180∘−B)⋅tanB.
V T=\dfrac{\sin ^{3} \dfrac{B}{2}}{\cos \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}+\dfrac{\cos ^{3} \dfrac{B}{2}}{\sin \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}-\dfrac{\cos \left(180^{\circ}-B\right)}{\sin B} \cdot \tan BVT=cos(2180∘−B)sin32B+sin(2180∘−B)cos32B−sinBcos(180∘−B)⋅tanB =\dfrac{\sin ^{3} \dfrac{B}{2}}{\sin \dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos ^{3} \dfrac{B}{2}}{\cos \dfrac{B}{2}}-\dfrac{-\cos B}{\sin B} \cdot \tan B=\sin ^{2} \dfrac{B}{2}+\cos ^{2} \dfrac{B}{2}+1=2=V P=sin2Bsin32B+cos2Bcos32B−sinB−cosB⋅tanB=sin22B+cos22B+1=2=VP
Suy ra điều phải chứng minh.
\(a)sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x\cdot cos^2x\)
\(\Leftrightarrow sin^4x+2sin^2x\cdot cos^2x+cos^4x=1\)
\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^2=1\)(luôn đúng)
a) Ta có: \(sin^2x+sin^2\left(90-x\right)=sin^2x+cos^2x=1.\)
áp dụng: A = 2
b)Ta có: \(cos\left(x\right)=-cos\left(180-x\right)\)
áp dụng: B = 0
c) Ta có: \(tan\left(x\right)\cdot tan\left(90-x\right)=\frac{sinx}{cosx}\cdot\frac{sin\left(90-x\right)}{cos\left(90-x\right)}=\frac{sinx}{cosx}\cdot\frac{cosx}{sinx}=1\)
áp dụng: C = 1
Gọi K là trung điểm AC \(\Rightarrow IK\) là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IK=\dfrac{1}{2}AB\\IK||AB\end{matrix}\right.\)
Đường thẳng IK song song AB nên nhận (1;-1) là 1 vtpt
Phương trình IK:
\(1\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y-1=0\)
\(S=\dfrac{1}{2}d\left(C;AB\right).AB=\dfrac{1}{2}.2.d\left(I;AB\right).AB=d\left(I;AB\right).AB\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{S}{d\left(I;AB\right)}=\dfrac{2}{\dfrac{\left|2-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{2}\)
Do K thuộc IK nên tọa độ có dạng: \(K\left(k;k-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{IK}=\left(k-2;k-2\right)\)
\(\Rightarrow IK=\sqrt{\left(k-2\right)^2+\left(k-2\right)^2}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(k-2\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3\\k=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}K\left(3;2\right)\\K\left(1;0\right)\end{matrix}\right.\)
tôi nói
a) Ta có (\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx (*)
Mặt khác \sin x+\cos x=msinx+cosx=m nên m^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpham2=1+2sinαcosα hay \sin \alpha \cos \alpha=\dfrac{m^{2}-1}{2}sinαcosα=2m2−1
Đặt A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|A=∣∣sin4x−cos4x∣∣. Ta có
A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)|A=∣∣(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)∣∣=∣(sinx+cosx)(sinx−cosx)∣
\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x)⇒A2=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=(1+2sinxcosx)(1−2sinxcosx)
\Rightarrow A^{2}=\left(1+\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)=\dfrac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}⇒A2=(1+2m2−1)(1−2m2−1)=43+2m2−m4
Vậy A=\dfrac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2}A=23+2m2−m4
b) Ta có 2 \sin x \cos x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=12sinxcosx≤sin2x+cos2x=1 kết hợp với (*)(∗) suy ra
(\sin x+\cos x)^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sin x+\cos x| \leq \sqrt{2}(sinx+cosx)2≤2⇒∣sinx+cosx∣≤2
Vậy |m| \leq \sqrt{2}∣m∣≤2.