(3,0 điểm)

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Các đường cao $BE$ và $CF$ của $\triangle ABC$ cắt nhau tại $H$. 

1.Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

2. Chứng minh $OA \bot EF$. 

3. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $S$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ và $BC$. Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $H$, $M$, $K$ thẳng hàng và chứng minh $SH \bot AM$.

(3,5 điểm)

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $A$ sao cho $AB<AC$. Trên $OC$ lấy điểm $M$ sao cho $M$ nằm giữa $O$ và $C$. Qua $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OC$ cắt tia đối của tia $AB$ tại $N$, cắt $AC$ tại $F$. Đường thẳng $NM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$ và $K$ ($F$ nằm giữa $E$ và $N$).

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $M$, $E$ cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm $N$, $A$, $M$, $C$ cùng thuộc một đường tròn. 

b) Vẽ tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt $MN$ tại $H$. Chứng minh rằng tam giác $AHE$ là tam giác cân.

c) Gọi giao điểm thứ hai của $NC$ với đường tròn $(O)$ là $D$. Chứng minh $HD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH

c) Vẽ tia phân giác AM củagóc BAD(M ∈BC).Tính độ dài đoạn thẳng MB, MD

d) Đường thẳngAH cắt DC tại I và cắt đường thẳng BC tại K. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABH và tam giác BKH

e) chứng minh AH²= HI . HK