a: Xét tứ giác ADHE có

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

nên ADHElà hình chữ nhật

=>góc AED=góc AHD=góc ABC

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên MA=MC=MB

=>góc MAC=góc MCA

=>góc MAC+góc AED=90 độ

=>AM vuông góc với DE

b: HE//AB

=>HN//AB

mà góc NAB=góc HBA

nên NHBA là hình thang cân

=>góc ANB=góc AHB=90 độ

=>BN vuông góc với AM

=>BN//DE

c: Xét ΔMAB có AH,BN.MK là các đường cao

nên AH,BN,MK đồng quy

Đi bơi(nếu thik)

Bôi kem chống nắng(con gái)

v.v...

Hok tốt

Đi bơi là tốt  nhất

ăn kem vaò là phê lắm luôn í.Hihi

Vì GTTĐ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, do đó :

\(\left|x+1\right|+\left|2x+15\right|+\left|3x+6041\right|\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow7x\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\ge0\)

Từ điều kiện này của x ta có phương trình :

\(x+1+2x+15+3x+6041=7x\)

\(\Leftrightarrow6x+6057=7x\)

\(\Leftrightarrow7x-6x=6057\)

\(\Leftrightarrow x=6057\)

Vậy tập nghiệm của pt là S = { 6057 }

Ối,không ngờ đề gắt ~v

Theo Cô si,ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)

Suy ra \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng vào,ta có: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

Chứng minh tương tự và cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{9}\left[3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Lại có BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\le\frac{1}{12}\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Nhân abc vào mỗi vế : \(VT.abc\le\frac{1}{6}\left(ab+bc+ca\right)=\frac{abc}{6}\)

Chia cả hai vế cho abc (vì a,b,c dương nên abc khác 0): \(VT\le\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)(đpcm)

Cũng không biết đúng hay sai nữa :v

Lưu ý rằng: \(VT=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=b=c=3\)

x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x-12 = 0 
<=> (x^4 - x^3) + (3x^3-3x^2) + (8x^2 - 8x) + (12x-12) = 0 
<=> (x-1).(x^3 + 3x^2 + 8x+12) = 0 
<=> (x-1).[(x^3+2x^2)+(x^2+2x)+(6x+12)] = 0 
<=>(x-1).(x+2).(x^2+x+6) = 0 
<=> x= 1 hoặc x = -2 

x⁴ - 4x³ + 12x -9 = 0

<=> x⁴ - x³ - 3x³ + 3x² - 3x² + 3x + 9x - 9 = 0

<=> x³(x-1) - 3x²(x-1) - 3x(x-1) + 9(x-1) = 0

<=> (x-1)(x³ - 3x² - 3x + 9) = 0

<=> (x-1)[x²(x-3) - 3(x-3)] = 0

<=> (x-1)(x-3)(x² - 3) = 0

=> x-1 = 0 hoặc x - 3= 0 hoặc x² - 3 = 0

=> x = 1 hoặc x = 3 hoặc x = \(\pm\sqrt{3}\)

Vậy S = ...

ta có: DE// AC;  D thuộc BC; E thuộc AB của tg ABC

=> AE/AB = CD/BC ( định lí Ta-lét) (*)

ta có: DF// AB ....

=> AF/AC = BD/BC ( định lí Ta-lét)

Từ (*) \(\Rightarrow\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{BC}+\frac{BD}{BC}=\frac{CD+BD}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

hình tự vẽ

Đặt \(\frac{a-b}{c}=x;\frac{b-c}{a}=y;\frac{c-a}{b}=z\)\(\Rightarrow\frac{c}{a-b}=\frac{1}{x};\frac{a}{b-c}=\frac{1}{y};\frac{b}{c-a}=\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow P.Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)

\(=3+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)

Ta có : \(\frac{y+z}{x}=\left(y+z\right)\frac{1}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\frac{c}{a-b}=\left(\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{\left(b-a\right)\left(a+b-c\right)}{ab}\frac{c}{a-b}=\frac{\left(c-a-b\right)c}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\)( a + b + c = 0 suy ra c = -a-b )

Tương tự : \(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc};\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\)

\(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=\frac{2.3abc}{abc}=6\)

( vì a + b + c = 0 . CM được a³ + b³ + c³ = 3abc )

\(\Rightarrow P.Q=3+6=9\)