Ta có \(x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-x^2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x⁴ + x² + 1 là đa thức có bậc thấp hơn, tức là \(ax^3+bx^2+cx+d\)

Ta có \(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2+x+1\right)\left(ax+b-a\right)+\left(c-b\right)x+d+a-b\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left[\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+ax+b-a\right]+\left(c-b\right)x+d+a-b\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\d+a-b=1\end{cases}}\)

Ta cũng có:

\(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)

\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2-x+1\right)\left(ax+b+a\right)+\left(c+b\right)x+d-a-b\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c+b=3\\d-a-b=5\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\c+b=3\end{cases}}\)  và \(\hept{\begin{cases}d-b+a=1\\d-b-a=5\end{cases}}\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c=1\\b=2\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}d-b=3\\a=-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d=5\\a=-2\end{cases}}}\)

Vậy thì đa thức dư cần tìm là -2x³ + 2x² + x + 5

Phần (c-b)x sai phải là (c-b+a-ax)x

Bài này nếu ở lớp 9 thì dùng hệ phương trình, tuy nhiên với lớp 8 ta sẽ sử dụng phương trình.

Gọi thời gian để người thứ nhất một mình hoàn thành xong công việc là x (giờ, x \(\in\) N^* , x > 16)

Một giờ cả hai người làm được số phần công việc là:   \(\frac{1}{16}\)  (công việc)

Vậy trong một giờ người thứ hai làm được số phần công việc là:  \(\frac{1}{16}-\frac{1}{x}\)  (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình : \(\frac{3}{x}+5\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{x}-\frac{5}{x}+\frac{5}{16}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{2}{x}=\frac{1}{16}\Leftrightarrow x=32\left(tmđk\right)\)

Vậy muốn một mình hoàn thành công việc thì người thứ nhất phải làm trong 32 giờ.

 Muốn một mình hoàn thành công việc thì người thứ hai phải làm trong số giờ là:

     \(1:\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\right)=32\)  ( giờ)

Ta cần tìm bộ 4 số được lấy từ 3 số 1, 2, 3 mà có tổng chia hết cho 9.

Ta có 1 + 2 + 3 + 3 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9

Vậy các số tự nhiên được tạo thành là:  1233, 1323, 1332, 3123, 3132, 3213, 3231, 3321, 3312, 2223, 2232, 2322, 3222.

Vậy có 13 số tự nhiên được tạo thành.  

nếu ko chia hết cho 9 thì có 27 số.nhưng chia hết cho 9 thì chỉ có 1 số là:333

Ta có \(\widehat{AIP}=\widehat{DAP}\)  (Cùng phụ với góc ADI) nên  \(\Delta IAP\sim\Delta ADP\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AP}{DP}=\frac{AI}{DA}\Rightarrow\frac{AP}{DP}=\frac{AK}{DC}\)

Lại có \(\widehat{IAD}=\widehat{ADP}\) nên \(\widehat{PAK}=\widehat{PDC}\)   (Cùng phụ với hai góc trên)

Vậy nên \(\Delta PAK\sim\Delta PDC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{APK}=\widehat{DPC}\)

\(\Rightarrow\widehat{APK}+\widehat{KPD}=\widehat{DPC}+\widehat{KPD}\)

\(\Rightarrow\widehat{APD}=\widehat{KPC}\)

\(\Rightarrow\widehat{KPC}=90^o\)

Vậy nên CP vuông góc KP.

Ta có: \(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a+b}{bc+a^2}-\frac{b+c}{ac+b^2}-\frac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4-2a^4b^2c^2-2b^4c^2a^2-2c^4a^2b^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)^2+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)(Đúng) (do a, b, c>0 )

bạn ơi mik chỉ làm ngếu ngáo thôi nhé :)) đúng thì đúng mà sai thì thôi nhé :)) cách mình tự chế nhé

đặt \(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}=Pain\)

áp dụng định lí six paths of Pain :) ta có

\(\frac{\left(a+b\right)}{a^2+bc}=\frac{\left(a+b\right)}{\frac{\left(a+b\right)}{\left(a+c\right)}}=\frac{1}{\left(a+c\right)}\) ( định lí Six Paths of Pain ) hì hì  

thay vào ta được :)

\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

áp dụng cô si sáp cho 2 số ta có

\(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) luôn đúng

\(\frac{1}{b+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\) luôn đúng

\(\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)\) luôn đúng

cộng các vế lại ta được và rút 2/2 ta được :))

\(Pain\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

hình như BDT  đã được chứng minh :))

theo bài của bạn Phạm quốc cường ta có :))

\(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) luôn đúng :))

tức là  \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}=\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)luôn đúng :))

tức là định Lí six paths of Pain luôn đúng :))

dấu = xảy ra khi nào thì mình éo biết được :))

: các thành phần trẩu tre éo làm thì đừng tích sai cho mình nhé :)) mik ms lớp 7 thôi còn gà lắm :))

           \(\left(x^2-9\right)=12x+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-9-12x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-12x-10=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-12x+36-46=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-6\right)^2=46\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x-6=\sqrt{46}\\x-6=-\sqrt{46}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{46}+6\\x=-\sqrt{46}+6\end{cases}}\)

Vậy..

P/S:   mk cx ko bít đúng hay sai nữa, bn tham khảo nha

Chữa đề \(\frac{2017}{4038}< A< \frac{2017}{2018}\)

Ta có: \(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2017.2018}\)

\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}\)(1)

Lại có: \(A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2018.2019}\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}=\frac{2017}{4038}\)(2) 

Từ (1) và (2) => đpcm

Đặt   \(a=x+4\)  thay vào phương trình ta đc:

              \(\left(a-1\right)^4+\left(a+1\right)^4=16\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^4-4a^3+6a^2-4a+1+a^4+4a^3+6a^2+4a+1=16\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^4+6a^2-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^2-1\right)\left(a^2+7\right)=0\)

Vì    \(a^2+7\ne0\)

nên     \(a^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a+1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a=1\\a=-1\end{cases}}\)

Thay trở lại ta có:

\(\orbr{\begin{cases}x+4=1\\x+4=-1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy...

(x+3)⁴+(x+5)⁴=16

(x⁴+3⁴)+(x⁴+5⁴)=16

(x⁴+81)+(x⁴+625)

bye k^o biết lam nữa