\(VT=\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{a}{ab+a+b+a^2}+\dfrac{b}{ab+a+b+b^2}\)

\(=\dfrac{a}{\left(a+b\right).\left(a+1\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right).\left(b+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right).\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(a+b\right)^2.\left(a+1\right).\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+1}{\left(a+b\right).\left(ab+a+b+1\right)}\)

\(=\dfrac{ab+1}{2.\left(a+b\right)}\)(1)

\(VP=\dfrac{ab+1}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{ab+1}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2.\left(a+1\right).\left(b+1\right)}}\)

\(=\dfrac{ab+1}{2\left(a+b\right)}\) (2)

Từ (1) (2) => ĐPCM

Giải

Với a,b > 0, ta có:

\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)

Tương đương

\(\dfrac{a+ab^2+b+a^2b}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b+ab\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Mặt khác, \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)=\left(a^2+a+b+ab\right)\left(b^2+a+b+ab\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)\\ =\left(a+b\right)^2\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\right]\\ =\left(a+b\right)^2\left(a+b+ab+1\right)\\ =2\left(a+b\right)^2\)

Do đó phương trình đã cho tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2}.\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(a,b>0\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\) 

Vì phương trình (1) đúng nên phương trình ban đầu cũng đúng

Suy ra điều phải chứng minh

​Ta có: 151+152+...+175>175+175+...+175=2575=13​

176+177+...+1100>1100+1100+...+1100=25100=14

​=> S>13+14=712​ (1)

Ta có: 151+152+...+175<150+150+...+150=2550=12​

176+177+...+1100<175+175+...+175=2575=13​

=> S<12+13=56 ​(2)

Từ (1) và (2) => 712​ < S<56 ​( đpcm )

Ta có:

- 1/51 > 1/75, 1/52 > 1/75 ...

=> 1/51 + 1/52 + ... + 1/75 > 1/75 + ... 1/75 = 25/75 = 1/3

- 1/76 > 1/100, 1/77 > 1/100 ...

=> 1/76 + 1/77 + ... + 1/100 > 1/100 + ... + 1/100 = 25/100 = 1/4

Từ đó : S = ( 1/51 + ... + 1/75 ) + ( 1/76 + ... + 1/100 ) > 1/3 + 1/3 = 7/12 (1)

- 1/51 < 1/50, 1/52 < 1/50 ... 

=> 1/51 + 1/52 + ... + 1/75 < 1/50 + ... 1/50 = 25/50 = 1/2

- 1/76 < 1/75, 1/77 < 1/75...

=> 1/76 + 1/77 + ... + 1/100 < 1/75 + ... + 1/75 = 25/75 = 1/3

Từ đó : S = ( 1/51 + ... + 1/75 ) + ( 1/76 + ... + 1/100 ) < 1/2 + 1/3 = 5/6 (2)

từ (1) và (2) => 5/6 > S > 7/12

* Chúc bn học tốt !!!

Số có các chữ số tổng bằng 10:

Hàng trăm 1: 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, 181, 190 : 10

Hàng trăm 2: 208, 217, 226, 235, 244, 253, 262, 271, 280 : 9

Hàng trăm 3: 307, 316, 325, 334, 343, 352, 361, 370 : 8

Hàng trăm 4: 406, 415, 424, 433, 442, 451, 460 : 7

Hàng trăm 5: 505, 514, 523, 532, 541, 550 : 6

=> tổng có 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40 số có tổng các chữ số = 10

* Good luck !!!!

Mong mn trl mình ạ

Ta có \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=7\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+2.x.\dfrac{1}{x}=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=3\)  (Do x > 0) (1)  

Từ (1) \(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=27\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+3.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=27\)

\(\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\)

Ta lại có \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\dfrac{10}{x}+\dfrac{5}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}=243\)

\(\Leftrightarrow F=x^5+\dfrac{1}{x^5}=243-5.\left(\dfrac{1}{x^3}+x^3\right)-10.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=123\)

Chiều dài mảnh đất là :

5 x 1000 = 5000 ( cm )

Chiều rộng mảnh đất là :

3 x 1000 = 3000 ( cm )

S mảnh đất là :

5000 x 3000 = 15000000 ( cm² ) = 1500 m²

Vậy S mảnh đất đó là 1500 m²

^{Goodluck !!!}

Chiều dài thật của mảnh đất là :

5 x 1000 = 5000 (cm) hay 50m

Chiều rộng thật của mảnh đất là :

3 x 1000 = 3000 (cm) hay 30m

Diện tích của mảnh đất đó là :

50 x 30= 1500 (m2)

Đáp số: 1500m2.

Bài 40:

a) A = \(\left\{11;12;13;14;15\right\}\)

b) B = \(\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\)

c) C = \(\left\{12;13;14;15;16;17;18;19\right\}\)

d) D = \(\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}\)

Câu 41:

a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)

b) B = \(\left\{1;2;3;4;5\right\}\)

c) C = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}\)

d) D = \(\left\{205;206;207;208\right\}\)

e) E = \(\left\{1200;1201;1202;1203;1204;1205\right\}\)

g) G = \(\left\{250;251;252;253;254\right\}\)

Bài 42: 

a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}\)

b) B = \(\left\{10;11;12;13;14\right\}\)

c) C = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}\)

d) D = \(\left\{8;9;10;11;12;13\right\}\)

e) E = \(\left\{1;2;3;4\right\}\)

f) F = \(\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\)

g) G = \(\left\{17;18;19;20;21\right\}\)

h) H = \(\left\{8;9;10;11;12;13\right\}\)

Bài 43: ( bạn không viết rõ đề bài nên mình viết 2 cách ra nhé )

a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5;...;2298;2299;2300\right\}\)

    A = \(\left\{x\in N|x\le2300\right\}\)

b) B = \(\varnothing\) ( B thuộc tập hợp rỗng )

    B = \(\left\{x\in N|14< x< 15\right\}\)

c) C = \(\left\{0;1;2;3;4\right\}\)

    C = \(\left\{x\in N|x\le4\right\}\)

d) D = \(\left\{1;2;3;4;5;6;...;143;144\right\}\)

    D = \(\left\{x\inℕ^∗|x< 145\right\}\)

e) E = \(\left\{7;8;9;10;11;12\right\}\)

    E = \(\left\{x\in N|6< x\le12\right\}\)

g) G = \(\left\{1226;1228;1230;1232;1234\right\}\)

    G = \(\left\{x\in N\right\}chẵn|1225< x\le1234\)

Bài 44:

a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5;...;49;50\right\}\)

    A = \(\left\{x\in N|x\le50\right\}\)

b) B = \(\varnothing\) ( B thuộc tập hợp rỗng ) 

    B = \(\left\{x\in N|8< x< 9\right\}\)

c) C = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}\)

    C = \(\left\{x\in N|x\le6\right\}\)

d) D = \(\left\{1;2;3;4\right\}\)

    D = \(\left\{x\inℕ^∗|x< 5\right\}\)

e) E = \(\left\{8;9;10;11;12;13;14\right\}\)

    E = \(\left\{x\in N|7< x\le14\right\}\)

Bài 45: 

a) B = \(\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)

    B = \(\left\{x\in N|x\le5\right\}\)

b) thuộc tập hợp B thì: 

\(5\in B\)

\(4\in B\)

\(0\in B\)

\(6\notin B\)

\(1\in B\)

\(\dfrac{1}{2}\notin B\)

Chúc bạn học tốt

Lần sau bạn gửi vài bài chứ như vầy nhiều lắm nha.

giúp với 5 phút nx e phải nộp bài rồi 

em thi hả

A= 1000 - 999 + 998 - 997 + 96 - 95 +...+ 4- 3 + 2 - 1

A = (1000 - 999) + (998 - 997) + (96- 95) +...+(4-3) + (2-1)

Xét dãy số 1000; 998; 96;...; 2

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách 4 - 2 = 2

Dãy số trên có số số hạng là: (1000 - 2):2+1 = 500 (số)

Vậy tổng A có 500 nhóm. Mỗi nhóm có giá trị là:

2  - 1 = 1

A = 1 \(\times\) 500 = 500

Vậy A = 500

giúp mình với, mình đang vội

a) 5kg thuỷ tinh đặc biệt , nhà sản xuất cần thêm vào số gam chất khác là :

                         \(519\times5=2595\left(g\right)\)

b) Đổi : 5kg thuỷ tinh đặc biệt \(=5000g\)

5 thấu kính đó nặng số gam là :

                        \(5000+2595=7595\left(g\right)\)

Mỗi thấu kính nặng số gam là :

                          \(7595:5=1519\left(g\right)\)

                                       đs....

Ta có : \(N=2022.2024\)

\(N=\left(2023-1\right)\left(2023+1\right)\)

\(N=2023^2+2023-2023-1\)

\(N=2023^2-1\)

Mà : \(M=2023.2023=2023^2\)

\(\Rightarrow M>N\)