Giải

\(\sqrt{x^2+1}-x=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=3+x\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3+x>0\left(x^2+1\ge0+1=1>0\right)\\x^2+1=\left(3+x\right)^2​\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-3\\x^2+1=x^2+6x+9\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-3\\6x=-8\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-3\\x=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}\)

Vậy \(S=\left\{-\dfrac{4}{3}\right\}\)

Giải

Với a,b > 0, ta có:

\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)

Tương đương

\(\dfrac{a+ab^2+b+a^2b}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b+ab\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Mặt khác, \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)=\left(a^2+a+b+ab\right)\left(b^2+a+b+ab\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)\\ =\left(a+b\right)^2\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\right]\\ =\left(a+b\right)^2\left(a+b+ab+1\right)\\ =2\left(a+b\right)^2\)

Do đó phương trình đã cho tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2}.\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(a,b>0\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\) 

Vì phương trình (1) đúng nên phương trình ban đầu cũng đúng

Suy ra điều phải chứng minh

Giải

Quãng đường ô tô đi từ Vinh ra Diễn Châu:

   \(48-20=28\) (km)

Hiệu hai quãng đường đi của hai xe:

   \(28-20=8\) (km)

Thời gian đi để hai xe gặp nhau:

   \(\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\) (giờ)

Vận tốc xe máy:

   \(20\div\dfrac{1}{2}=40\) (km/h)

Vận tốc ô tô:

   \(28\div\dfrac{1}{2}=56\) (km/h)

      Đáp số:

                   Vận tốc xe máy: 40 km/h

                   Vận tốc ô tô: 56 km/h

Giải

Ta có:

\(x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\)

Khi đó:

\(x^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\right)^2\\ =2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\\ =8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{12-3\left(2+\sqrt{3}\right)}\\ =8-\sqrt{2}.\sqrt{4+2\sqrt{3}}-2\sqrt{6-3\sqrt{3}}\\ =8-\sqrt{2}.\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{2}.\sqrt{12-6\sqrt{3}}\\ =8-\sqrt{2}.\left(\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}\right)\\ =8-\sqrt{2}.\left(\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{9-2.3\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\right)\\ 8-\sqrt{2}.\left(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}+\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}\right)\\ =8-\sqrt{2}.\left(\sqrt{3}+1+3-\sqrt{3}\right)\\ =8-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow x^4-16x^2=\left(8-4\sqrt{2}\right)^2-16.\left(8-4\sqrt{2}\right)\\ =96-64\sqrt{2}-128+64\sqrt{2}=-32\)

Vậy \(S=-32\)

Giải

\(A=\left\{x\in N\text{|}-3< x\le4\right\}\)

Các phần tử của A là: \(\text{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}\)

Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử:

\(A=\left\{\text{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}\right\}\)

Tổng các phần tử của tập hợp A là:

\(\text{(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7}\)

Giải

Vì a + b + c = 0 nên a + b = -c

Ta có:

\(a^7+b^7=\left(a+b\right)\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)\\ =-c\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)\\ =c\left(-a^6+a^5b-a^4b^2+a^3b^3-a^2b^4+ab^5-b^6\right)\\ =c\left[-\left(a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\right)+\left(7a^5b+14a^4b^2+21a^3b^3+14a^2b^4+7ab^5\right)\right]\\ =c\left[-\left(a+b\right)^6+7ab\left(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4\right)\right]\\ =c\left\{-\left(a+b\right)^6+7ab\left[\left(a^2+b^2\right)^2+2ab\left(a^2+b^2\right)+3a^2b^2-2a^2b^2\right]\right\}\\ =c\left\{-\left(a+b\right)^6+7ab\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\right\}\\ =c\left\{-c^6+7ab\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\right\}\\ =-c^7+7abc\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\\ \Rightarrow a^7+b^7+c^7=7abc\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\Rightarrow7abc\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]=0\)TH1: \(\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2=0\)

Vì \(a^2,b^2,\left(a+b\right)^2,a^2b^2\ge0\) nên \(\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0

Mà a + b + c = 0 nên suy ra c = 0

Vậy \(a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}=0\)

TH2: abc = 0

Vì abc = 0 nên sẽ có ít nhất một trong ba số a, b, c = 0

Vì a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử \(c=0\)

Mà a + b + c = 0 nên a + b =0 hay a = -b

\(\Rightarrow a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}=0\)

Kết luận: \(a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}=0\)