Lời giải:

Gọi tuổi anh và tuổi em hiện nay là $3a$ và $a$ (tuổi) 

6 năm nữa tuổi anh là: $3a+6$ 

6 năm nữa tuổi em là: $a+6$

Theo bài ra ta có: $3a+6=2(a+6)$

$\Rightarrow a=6$ (tuổi) 

Vậy tuổi em hiện nay là 6 tuổi. Tuổi anh hiện nay là $6.3=18$ tuổi.

Số sách ở thư viện thứ nhất:

\(\left(15000+3000\right):2=9000\) (cuốn sách)

Số sách ở thư viện thứ hai:

\(15000-9000=6000\) (cuốn sách)

Đáp số:....

Lời giải:

$\frac{3}{2}B=\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$
$\Rightarrow 1-\frac{3}{2}B=1-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x+\sqrt{x}+1}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \frac{3}{2}B\leq 1$

$\Rightarrow B\leq \frac{2}{3}$

Vậy $B_{\max}=\frac{2}{3}$ khi $\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1$

S_AMQ  = \(\dfrac{1}{3}\)S_ABQ (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{1}{3}\)ABQ)

AQ     =  DA - QD = DA  - \(\dfrac{1}{3}\)DA = \(\dfrac{2}{3}\)DA

S_ABQ =  \(\dfrac{2}{3}\)S_ABD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD và QA = \(\dfrac{2}{3}\)DA)

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\) S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật) 

S_AMQ = \(\dfrac{1}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) S_ABCD = 162 \(\times\) \(\dfrac{1}{9}\) = 18 (cm²)

S_BMN = \(\dfrac{2}{3}\)S_BCM (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{2}{3}\)BC)

BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{1}{3}\)AB = \(\dfrac{2}{3}\)AB 

S_BCM = \(\dfrac{2}{3}\)S_ABC ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)

S_BMN = \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\) \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 162 \(\times\) \(\dfrac{2}{9}\) = 36 (cm²)

CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC 

S_PCN = \(\dfrac{1}{3}\)S_BPC( vì hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{3}\)BC 

S_PBC = \(\dfrac{2}{3}\)S_BCD (vì hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{2}{3}\)CD)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)

S_PCN = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 162\(\times\)\(\dfrac{1}{9}\) = 18(cm²)

DP = DC - CP = DC - \(\dfrac{2}{3}\)DC = \(\dfrac{1}{3}\)DC 

S_DPQ = \(\dfrac{1}{3}\)S_DCQ (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy DC và DP = \(\dfrac{1}{3}\)DC)

S_DCQ = \(\dfrac{1}{3}\)S_ACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{3}\)AD)

S_ADC = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ  nhật)

S_DPQ  = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 162 \(\times\) \(\dfrac{1}{18}\) = 9 (cm²)

S_MNPQ = S_ABCD - (S_DPQ  + S_PCN + S_BMN + S_AQM)

S_MNPQ = 162 - (9 + 18 + 36 + 18) = 81 (cm²)

Đáp số : 81 cm²

Số viên bi Bình có là:

 $15\times 2=30$  \(viên bi)

Tổng số viên bi của Bình và An là:

 (viên bi)

Trung bình cộng số viên bi của 3 bạn là:

$\left(45+3\right):2=24$ (viên bi) 

Số viên bi của Thịnh là:

$24+3=27$ (viên bi)

Đáp số: ...

1. a) Ta có:

   • Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 3cm * 4cm = 6cm^2.
   • Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên diện tích tam giác ABC cũng bằng 1/2 * AB * CD, tức là: S = 1/2 * AB * CD = 3CD.
     Từ đó suy ra: CD = 2cm.

   b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. Ta có:

   • Tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

   • Tam giác BDE và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AC.
     Do đó, ta có:

   • AI/AB = DE/BC (vì tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng)

   • DE = AD - AE = AD - CD = AD - 2 (vì tam giác ADE vuông tại E và CD là hình chiếu của AD trên BC)

   • BC = AB + AC = 3 + 4 = 7
     Từ đó suy ra: AI/AB = (AD - 2)/7

   Vậy, ta có: AI*AB = (AD - 2)AB/7 = ADAB/7 - 2AB/7 = AD^2/3 - 2/7.

   c) Gọi F là hình chiếu vuông góc của D trên AB. Ta có:

   • Tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

   • Tam giác CDF và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng CD/AC.
     Do đó, ta có:

   • AI/AB = DF/AF (vì tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng)

   • AK/AC = CF/AF (vì tam giác CDF và tam giác ABC đồng dạng)

   • DF + CF = CD = 2

   • AF = AB - BF = AB - AK = 3 - AK (vì BF là hình chiếu của B trên AC và AK là hình chiếu của D trên AC)

   Từ đó suy ra: AI/AB = DF/(DF + CF) = DF/2 = (AD^2 - AF^2)/(2AD^2) = (AD^2 - (AB - AK)^2)/(2AD^2) = (2AK*AC - AK^2)/(2AD^2) = AK/AD - AK^2/(2AD^2).

   Từ b) và c), ta có: AIAB = AD^2/3 - 2/7 = AKAC*(1 - AK^2/(2AD^2)).

   d) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC. Ta có:

   • Tam giác ADH và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

   • Tam giác IDH và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AI/AC.
     Do đó, ta có:

   • ID/AI = DH/AB (vì tam giác IDH và tam giác ABC đồng dạng)

   • DH = CD - CH = 2 - CI (vì tam giác ADH vuông tại H và CI là hình chiếu của I trên BC)

   • AB = 3, AC = 4, BC = 7

   Từ đó suy ra: ID/AI = (CD - CH)/AB = (2 - CI)/3.

   Do đó, ta có: ID/AI = (2 - CI)/3 = (2 - AK)/4 (vì AIAB = AKAC từ c))

   Từ đó suy ra: ID = (2AI - 3AK)/4.

   Vậy, ta có: ID/AI = (2AI - 3AK)/(4AI) = 1 - 3AK/(2AI) = 1 - DH

   18:22
2.  

Số viên bi Bình có là:

 \(15\times2=30\)  \(viên bi)

Tổng số viên bi của Bình và An là:

 (viên bi)

Trung bình cộng số viên bi của 3 bạn là:

\(\left(45+3\right):2=24\) (viên bi) 

Số viên bi của Thịnh là:

\(24+3=27\) (viên bi)

Đáp số: ...

Ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng:
(6 x 8 -😎 + (8 x 10 -😎 + (10 x 12 -😎 + … + (98 x 100 -😎
= 8 x (6 + 8 + 10 + … + 98) - 8 x 49
= 8 x (6 + 98) x 47 - 8 x 49
= 8 x 104 x 47 - 8 x 49
= 8 x (104 x 47 - 49)
= 8 x 4863
= 38,904

Vậy kết quả của biểu thức là 38,904.

\(A=100+98+96+...+2-97-95-...-1\)

\(A=100+\left(98-98\right)+\left(96-95\right)+...+\left(2-1\right)\)

\(A=100+1+1+...+1\)

\(A=100+1\cdot49\)

\(A=100\cdot49\)

\(A=4900\)

\(B=1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+...-299-300+301+302\)

\(B=1+\left(2-3-4+5\right)+\left(6-7-8+9\right)+...+\left(298-299-300+301\right)+302\)

\(B=1+0+0+...+302\)

\(B=1+302\)

\(B=303\)

�=100+(98−98)+(96−