Áp dụng BĐT Cauchy-Schawz ta có:

\(a+b\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2}\)

Đặt  \(P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{a}}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{2ab}}\ge1\)(Cauchy-Schawz)

   Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b;a+b=1\\\frac{a}{a\sqrt{b}}=\frac{b}{b\sqrt{a}}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(P_{min}=1\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

a, 13/6+5/8 : -3/4 - 7/12.4

= 13/6 + -5/6-7/3

=8/6-7/3

= -6/6

= -1

b, ( 73/5 - 21/3) + ( 4/3-43/5 )

= 73/5-21/3+4/3-43/5

=( 73/5-43/5)-(21/3-4/3)

= 6-17/3

=1/3

c, 7/5.4/9 +7/5: 9/16- 14/10.2/9

= 7/5.4/9 +7/5.16/9 - 14/45

=7/5.(4/9+16/9)-14/45

=7/5.20/9-14/45

= 140/45 - 14/45

= 126/45

Xong rùi nè! Nhưng bạn kiểm tra lại giùm nhé vì làm vào ban đêm nên hơi bất tiện

Trời ạ. 7 3/5 chứ k phải 73/5 -_-

\(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}x+x-\frac{7}{6}x=\frac{5}{12}\)

<=>\(\frac{1}{12}x=\frac{-1}{3}\)<=>\(x=\frac{-1}{3}.12=-4\)

\(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}x+x-\frac{7}{6}x=\frac{5}{12}\)

\(\Leftrightarrow x\left(\frac{1}{4}+1-\frac{7}{6}\right)=\frac{5}{12}-\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{12}x=-\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}:\frac{1}{12}=-\frac{1.12}{3.1}=-4\)

để A có giá trị lớn nhất

thì x-7 phải có giá trị nhỏ nhất vì số chia càng nhỏ thương càng lớn

Nên x-7 = 1(vì nếu x-7=0 thì kết quả phép chia sẽ là 0)

ta có x - 7 = 0

x=0+7

x=7

= -1,317957759 :) đê

22225628894 + 39198492421 - 473219897182 =-411795775867

#Học Tốt

jjttj

1;Đ

2;S

bài 2:

2,06%=

B.

bn hứa là k nha

na ni , ko hiểu cái đề

Bang 24

Hiệu số phần bằng nhau là :

5 - 2 = 3 ( phần )

1 phần tương ứng với :

1998 : 3 = 666

A là :  

\(666\times5=3330\)

B là :

\(666\times2=1332\)

Milk lộn toán hình nhé!

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.Ta\; chọn\; hệ\; toạ\; độ\; Oxyz\; có\; gốc\; là\; đỉnh\; A,\; tia\; Ox\; chứa\; AB,\; tia\; Oy\; chứa\; AD\; và\; tia\; Oz\; chứa\; AA’\; (h.105).$

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.$