​Đặt AB = x , BC = x + 1 , AC = x + 2 , MH = a Xét 3 trường hợp 

Trường hợp 1 nếu góc B < 90o => BC > AC (khác đề)

Trường hợp 2 nếu góc B = 90 độ (khác đề)

Trường hợp 3 nếu góc B > 90o => AC > BC ( đúng) 

Nên ta sẽ đi xét trường hợp 3 : B > 90o ( bạn phải vẽ B > 90o nhé) HB = MH - BM

=> HB = a - (x+1)/2

=> HB^2 = (a - (x+1)/2)^2 HC = HB + BC

=> HC = a - x/2 + x

=> HC^2 = (a + (x+1)/2)^2 

Ta có AH^2 = AC^2 - HC^2 AH^2 = AB^2 - HB^2

 => AC^2 - HC^2 = AB^2 - HB^2 

<=> (x + 2)^2 - (a+ (x+1)/2)^2 = x^2 - (a - (x+1)/2)^2 

<=> x^2 - 4x - 4 - a^2 - ax - a - (x^2+2x+1)/4 = x^2 - a^2 + ax + a - (x^2+2x+1)/4 

<=> 2ax + 2a - 4x - 4 = 0 

<=> 2a(x+1) - 4(x+1) = 0 

<=> (x + 1).2(a - 2) = 0 

<=> x = -1 hoặc a = 2 hay AB = -1 hoặc HM = 2 

\(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=5-\sqrt{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x+3}-2\right)+\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+3}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

\(x=1\)

Ta không cần điều kiện của a vì a là số nguyên hiển nhiên \(a\ne\frac{1}{2}\)

Ta có \(P=\frac{10a+16}{2a-1}\)\(=\frac{10a-5+21}{2a-1}\)\(=\frac{5\left(2a-1\right)}{2a-1}+\frac{21}{2a-1}\)\(=5+\frac{21}{2a-1}\)

Vì \(P\inℤ;5\inℤ\)nên \(\frac{21}{2a-1}\inℤ\)\(\Rightarrow21⋮2a-1\)\(\Rightarrow2a-1\inƯ\left(21\right)\)

\(\Rightarrow2a-1\in\left\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\right\}\)

TH \(2a-1=1\Leftrightarrow2a=2\Leftrightarrow a=1\)

TH \(2a-1=-1\Leftrightarrow2a=0\Leftrightarrow a=0\)

TH \(2a-1=3\Leftrightarrow2a=4\Leftrightarrow a=2\)

TH \(2a-1=-3\Leftrightarrow2a=-2\Leftrightarrow a=-1\)

TH \(2a-1=7\Leftrightarrow2a=8\Leftrightarrow a=4\)

TH \(2a-1=-7\Leftrightarrow2a=-6\Leftrightarrow a=-3\)

TH \(2a-1=21\Leftrightarrow2a=22\Leftrightarrow a=11\)

TH \(2a-1=-21\Leftrightarrow2a=-20\Leftrightarrow a=-10\)

Vậy có 8 giá trị nguyên của a thỏa mãn P là số nguyên là \(a\in\left\{-10;-3;-1;0;1;2;4;11\right\}\)

\(\Rightarrow\)Chọn C

\(\hept{\begin{cases}4x-3y-15=0\\4x+y=19\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-3y=15\\4x+y=19\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y-4x=-15\\4x+y=19\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x+y=19\\4y=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x+1=19\\y=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=18\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=1\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(\frac{9}{2};1\right)\)

\(x^2-2\left(m-3\right)x+m^2-5m+6=0\)(1)

Để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\)thì: 

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2-\left(m^2-5m+6\right)=m^2-6m+9-\left(m^2-5m+6\right)=-m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le3\)

Với \(m\le3\)phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\)nên theo định lí Viete ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-6\\x_1x_2=m^2-5m+6\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-3\right)^2-2\left(m^2-5m+6\right)\)

\(=2m^2-14m+24=40\)

\(\Leftrightarrow m^2-7m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-8\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=8\left(l\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{cases}}\)