\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1\)

Đặt \(S=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

Ta có:

\(S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(S=1-\dfrac{1}{100}\)

\(S=\dfrac{99}{100}\)

mà 

\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{1.2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{3.2}\)

\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)

...

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< S\)

\(=>A=\dfrac{99}{100}\)

\(=>A< 1\left(đpcm\right)\)

           Câu 1:

\(\dfrac{6}{-15}\) = \(\dfrac{6:3}{-15:3}\) = \(\dfrac{2}{-5}\); 

\(\dfrac{-4}{-12}\) = \(\dfrac{-4:-4}{12:-4}\) = \(\dfrac{1}{3}\) > \(\dfrac{2}{-5}\)

 \(\dfrac{-14}{35}\) = \(\dfrac{-14:-7}{35:-7}\) = \(\dfrac{2}{-5}\)

 - 0,4 = \(\dfrac{2}{-5}\) 

\(\dfrac{17}{40}\)> \(\dfrac{16}{40}\) ⇒ \(\dfrac{-17}{40}\) < \(\dfrac{-16}{40}\) (Vì khi nhân cả hai vế bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

⇒ \(\dfrac{-17}{40}\) < \(\dfrac{-16}{40}\) = \(\dfrac{-16:\left(-8\right)}{40:\left(-8\right)}\) = \(\dfrac{2}{-5}\)

40% = \(\dfrac{40}{100}\) = \(\dfrac{2}{5}\) > \(\dfrac{2}{-5}\)

Từ những lập luận trên ta có trong các phân số đã cho phân số biểu diễn cho số hữu tỉ \(\dfrac{2}{-5}\) lần lượt là các phân số sau:

     \(\dfrac{6}{-15}\); \(\dfrac{-14}{35}\); -0,4

Bài 2:

a; Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:

                3,25; 3\(\dfrac{4}{5}\); \(\dfrac{-5}{2}\); 140%; -2

               \(\dfrac{5}{2}\)   > \(\dfrac{4}{2}\)  (hai phân số dương, hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. 

            ⇒   \(\dfrac{5\times-1}{2}\) < \(\dfrac{4\times-1}{2}\)  (vì khi nhân hai vế với cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

          ⇒ \(\dfrac{-5}{2}\) < \(\dfrac{-4}{2}\) = - 2 < 0 (phân số âm luôn nhỏ hơn 0)

3\(\dfrac{4}{5}\) = 3,8;  140% = 1,4 vì  3,8 > 3,25 > 1,4 > 0 

⇒ \(3\dfrac{4}{5}\) > 3,25 > 140% > 0 

Từ những lập luận trên ta có:

 \(\dfrac{-5}{2}\) < -2 < 0 <  140% < 3,25 < 3\(\dfrac{4}{5}\)

Vậy các phân số đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăn dần lần lượt là:

     \(\dfrac{-5}{2}\); -2; 140%; 3,25; 3\(\dfrac{4}{5}\)

Lời giải:

$(\frac{2023a}{2024c})^3=(\frac{2024b}{2025a})^3=(\frac{2025c}{2023b})^3=\frac{2023a}{2024b}.\frac{2024b}{2025a}.\frac{2025c}{2023b}=1$

$\Rightarrow \frac{2023a}{2024c}=\frac{2024b}{2025a}=\frac{2025c}{2023b}=1$

$\Rightarrow 2023a=2024c; 2024b=2025a; 2025c=2023b$

Do đó:

$\frac{2023a}{506c}+\frac{2024b}{675a}+\frac{2025c}{289b}=\frac{2024c}{506c}+\frac{2025a}{675a}+\frac{2023b}{289b}$

$=4+3+7=14$

    Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp, thi violympic. Hôm nay, Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau:

                              Giải:

  Nếu người thứ hai chỉ mua \(\dfrac{1}{2}\) số dây điện còn lại và không mua thêm 2,5 mét thì cửa hàng còn lại số dây điện là:

          5,7 + 2,5  = 8,2 (m)

Phân số chỉ 8,2 m đây điện là:

   1 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) (Số dây điện còn lại sau lần bán thứ nhất )

Số dây điện còn lại sau lần bán thứ nhất là:

   8,2 : \(\dfrac{1}{2}\) = 16,4 (m)

Phân số chỉ 16,4 m dây điện là:

    1 - \(\dfrac{1}{6}\) = \(\dfrac{5}{6}\) (cuộn dây điện)

Cuộn dây điện dài là:

     16,4 : \(\dfrac{5}{6}\) = 19,68 (m)

Đáp số: 19,68 m

Giúp đi mà

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)\)

\(=4-4m+4=-4m+8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+8>0

=>-4m>-8

=>m<2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=2m^2+\left|m+3\right|\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=2m^2+\left|m+3\right|\)

=>\(2m^2+\left|m+3\right|=2^2-5\left(m-1\right)\)

=>\(2m^2+\left|m+3\right|=4-5m+5=-5m+9\)

=>\(2m^2+\left|m+3\right|+5m-9=0\)(1)

TH1: -3<=m<2

(1) sẽ trở thành \(2m^2+m+3+5m-9=0\)

=>\(2m^2+6m-6=0\)

=>\(m^2+3m-3=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<-3

(1) sẽ trở thành \(2m^2-m-3+5m-9=0\)

=>\(2m^2+4m-12=0\)

=>\(m^2+2m-6=0\)

=>\(\left(m+1\right)^2=7\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{7}-1\left(loại\right)\\x=-\sqrt{7}-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Tìm \(x\) biết: \(\dfrac{1+2y}{18}\) = \(\dfrac{1+4y}{24}\) = \(\dfrac{1+6y}{6x}\) (đk \(x\ne\) 0)

                  \(\dfrac{1+2y}{18}\) = \(\dfrac{1+4y}{24}\)

                 \(\dfrac{\left(1+2y\right).4}{72}\) = \(\dfrac{\left(1+4y\right).3}{72}\)

                   4 + 8y      =  3 + 12y

          4 + 8y - 3  - 12y = 0

             (4 - 3) + (8y - 12y) = 0

              1 - 4y = 0

                    4y = 1

                      y = \(\dfrac{1}{4}\)

Thay y = \(\dfrac{1}{2}\) vào biểu thức \(\dfrac{1+2.\dfrac{1}{4}}{18}\) = \(\dfrac{1+6.\dfrac{1}{4}}{6x}\)

                                          \(\dfrac{1}{12}\) = \(\dfrac{5}{12x}\)

                                     12\(x\) = 5.12

                                     12\(x\) = 60

                                         \(x\) = 60 : 12

                                          \(x\) = 5

                     Vậy (\(x;y\)) = (5; \(\dfrac{1}{4}\))

 Bạn phải nói rõ là xúc xắc có bao nhiêu mặt. Nếu là 6 mặt thì xác suất bằng \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\) (vì mỗi con xúc xắc có xác suất ra số lớn hơn 2 là \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\))

Số bé nhất có 5 chữ số khác nhau là \(10234\)

Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là \(9876\)

Hiệu của số bé nhất có 5 chữ khác nhau và số lớn lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là:

\(10234-9876=358\)

   Đáp số: \(358\)

358 nha! K nha!

                     Giải:

Số bé nhất có 5 chữ số khác nhau là: 10234

Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là: 9876

Hiệu của số bé nhất có 5 chữ số khác nhau với số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là:

              10234 - 9876 = 358

Đáp số 358 

Số bé nhất có 5 chữ số khác nhau là: 10234

Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là: 9876

Hiệu của số bé nhất có 5 chữ số khác nhau với số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là:

              10234 - 9876 = 358

Đáp số 358