\(\dfrac{8}{71}=\dfrac{8.10}{71.10}=\dfrac{80}{710}\\ Vì:\dfrac{80}{217}>\dfrac{80}{710}.Nên:\dfrac{80}{217}>\dfrac{8}{71}\\ Vậy:3\dfrac{80}{217}>3\dfrac{8}{71}\\ SX:\dfrac{221}{71}< \dfrac{731}{217}< \dfrac{1711}{341}< \dfrac{721}{143}\)

5,084155476

\(S=4+4^2+4^3+...+4^{23}+4^{24}\)

Nhận thấy : Dãy S có 24 số hạng nên khi ta nhóm 2 số hoặc 3 số thành 1 nhóm thì vừa đủ không dư ra số nào.

Ta có : 

\(S=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{23}+4^{24}\right)\\ =20+4^2\left(4+4^2\right)+...+4^{22}\left(4+4^2\right)\\ =20+4^2.20+...+4^{22}.20\\ =20.\left(1+4^2+...+4^{22}\right)⋮20\)

\(S=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\\ =84+4^3.\left(4+4^2+4^3\right)+...+4^{21}.\left(4+4^2+4^3\right)\\ =84+4^3.84+...+4^{21}.84\\ =84.\left(1+4^3+...+4^{21}\right)\\ =12.7.\left(1+4^3+...+4^{21}\right)⋮12\)

\(S=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\\ =4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{22}\left(1+4+4^2\right)\\ =4.21+4^4.21+...+4^{22}.21\\ =21.\left(4+4^4+...+4^{22}\right)⋮21\)

\(B=4+4^3+4^5+...+4^{49}\\ \Rightarrow4^2.B=4^3+4^5+4^7+....+4^{51}\\ \Rightarrow16B-B=\left(4^3+4^5+4^7+...+4^{51}\right)-\left(4+4^3+4^5+...+4^{49}\right)\\ \Rightarrow15B=4^{51}-4\\ \Rightarrow B=\dfrac{4^{51}-4}{15}\)

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề về so sánh phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi, thi violympic. Hôm nay olm sẽ hướng dẫn em cách giải dạng này như sau.

                Xét dãy số: 2; 3; 4;...; 2023

     Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1  = 1

      Số số hạng của dãy số trên là: (2023 - 2) : 1  + 1  = 2022

     Vì \(\dfrac{3}{2^2}\) = \(\dfrac{3}{4}\) < 1 ; \(\dfrac{8}{3^2}\) = \(\dfrac{3^2-1}{3^2}\) < 1;...; \(\dfrac{2023^2-1}{2023^2}\) < 1 

                 Vậy A là tổng của 2022 phân số mã mỗi phân số đều nhỏ hơn 1

                  ⇒ A < 1 x 2022 = 2022 (1) 

                  Mặt  khác ta có: 
               A =     \(\dfrac{3}{2^2}\) + \(\dfrac{8}{3^2}\) + \(\dfrac{15}{4^2}\) + \(\dfrac{2023^2-1}{2023^2}\)

               A =  1 - \(\dfrac{1}{2^2}\) + 1  - \(\dfrac{1}{3^2}\) + ... + 1 - \(\dfrac{1}{2023^2}\)

              A =  (1 + 1 + 1+ ...+ 1) - (\(\dfrac{1}{2^2}\)  + \(\dfrac{1}{3^2}\)+...+ \(\dfrac{1}{2023^2}\))

              A = 2022 - (\(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .... + \(\dfrac{1}{2023^2}\))

             Đặt B = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .... + \(\dfrac{1}{2023^2}\)

                \(\dfrac{1}{2^2}\)    < \(\dfrac{1}{1.2}\)  = \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\)

                  \(\dfrac{1}{3^2}\) < \(\dfrac{1}{2.3}\)   =  \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\)

                   \(\dfrac{1}{4^2}\) < \(\dfrac{1}{3.4}\) = \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\)

                    ............................

                 \(\dfrac{1}{2023^2}\)< \(\dfrac{1}{2022.2023}\) = \(\dfrac{1}{2022}\) - \(\dfrac{1}{2023}\)

                Cộng vế với vế ta có:

             B <  1 - \(\dfrac{1}{2023}\)

      ⇒ - B > -1 + \(\dfrac{1}{2023}\)

⇒ A = 2022 - B > 2022 - 1 + \(\dfrac{1}{2023}\) = 2021 + \(\dfrac{1}{2023}\) ⇒ A > 2021 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: 

            2021 < A < 2022

Vậy A không phải là số tự nhiên (đpcm)

A = 3. \(\dfrac{1}{1.2}\) - 5. \(\dfrac{1}{2.3}\) + 7. \(\dfrac{1}{3.4}\) + ... + 15. \(\dfrac{1}{7.8}\) -17 . \(\dfrac{1}{8.9}\)

Giúp mình nha