Chia cho 1 bạn ak

Bằng bước biến đổi \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\)ta có cách giải sau

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM,ta có: \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\ge\frac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}=2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi \(\left(x+y\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=0\)

Cơ mà nếu vậy thì P không có giá trị nhỏ nhất à, hay là em làm sai

Đổi tên biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với cách phần đặt biến phụ nha!

Biểu thức đối xứng 2 biến x, y là em nghĩ đến cách đặt \(S=x+y;P=xy\Rightarrow S^2\ge4P\).(đẳng thức xảy ra khi x = y)

Có: \(M=\frac{S^2+P}{S\sqrt{P}}=\frac{S}{\sqrt{P}}+\frac{\sqrt{P}}{S}\). Đặt \(t=\frac{S}{\sqrt{P}}=\sqrt{\frac{S^2}{P}}\ge\sqrt{\frac{4P}{P}}=2\). Quy về tìm min biểu thức:

\(M=t+\frac{1}{t}\left(t\ge2\right)\). Đến đây có 2 cách:

+) Cách 1: \(t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\ge2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}}+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy  ra khi ... (anh tự giải nhá:3)

+) Cách 2: \(t+\frac{1}{t}=t+\frac{4}{t}-\frac{3}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Vậy...

\(x+y-2=0\Leftrightarrow x+y=2\)

\(P=x^4+2x^3y-2x^3+x^2y^2-x\left(x+y\right)+2x+3\)

\(=x^4+x^3y+x^3y-2x^3+x^2y^2-2x+2x+3\)

\(=x^3\left(x+y\right)+x^2y\left(x+y\right)-2x^3+3\)

\(=2x^3+2x^2y-2x^3+3\)

\(=2x^2y+3\)

Ta thấy \(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)từ đó cho ta lời giải

Điều kiện:\(x\ge2\sqrt{x-1};x\ge1\)

Ta có \(VT=\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)

Do đó \(\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}-1\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\ge0\Leftrightarrow x\ge2\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x\ge2\)

y số người ta cho trong ngoặc vào x rồi tính thôi

4y.(3y - 5z) - 3z(5z - 3y) 

= 4y ( 3y - 5z ) - 3z .[ - ( 3y - 5z ) ] 

= 4y ( 3y - 5z ) + 3z ( 3y - 5z )

= ( 3y - 5z ) ( 4y + 3z )

Study well 

\(4y\left(3y-5z\right)-3z\left(5z-3y\right)=\left(...\right)\left(4y+3z\right)\)

\(\Rightarrow4y\left(3y-5z\right)+3z\left(3y-5z\right)=\left(...\right)\left(4y+3z\right)\)

\(\Rightarrow\left(4y+3z\right)\left(3y-5z\right)=\left(...\right)4y-3z\)

\(\Rightarrow\left(...\right)=3y-5z\)