\(\hept{\begin{cases}2x+y=3\left(1\right)\\x^2+y=5\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (2) - (1) ta có:

\(x^2-2x=2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1-\sqrt{3}\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)=0\)

Bí

\(x^2+4x+480=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4+476=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+476=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=-476\)( vô lý )

=> vô nghiệm

x²+4x+4=-476

<=> (x+2)²=-476

Vì (x+2)²\(\ge\)0 mà -476<0

nên không có giá trị x thỏa mãn đề bài

Gọi S là giao điểm của 2 đường tròn (PCE) và (PBF).

Trước hết, ta thấy \(\Delta\)PCE ~ \(\Delta\)AOB => ^CPE = ^OAB. Tương tự: ^BPF = ^OAC.

Suy ra: ^CPE + ^BPF = ^OAB + ^OAC = ^BAC = 180⁰ - ^BPC => E,P,F thẳng hàng => ^EPS + ^FPS = 180⁰

Mà ^FPS + ^SNF = 180⁰ nên ^EPS = ^SNF => ^EMS = ^SNQ (Vì ^EPS = ^EMS)

=> Tứ giác SMQN nội tiếp. Hay S thuộc đường tròn (QMN).

Bằng các góc nội tiếp, ta có: ^BSC = ^BSP + ^CSP = ^BFP + ^CEP = ^BAC = const. Mà BC cố định

Nên S nằm trên đường tròn đối xứng với (O) và BC => Đường tròn (BCS) cố định

Ta sẽ chứng minh: Đường tròn (QMN) tiếp xúc với (BCS) cố định (tại điểm chung S).

Thật vậy, từ S vẽ tiếp tiếp Sx của đường tròn (QMN). Dễ thấy: ^MSx = ^MNS = ^PBS (Do tứ giác BPSN nội tiếp)

Xét đường tròn (PCE): ^MSC = ^MPC = ^CBP. Từ đó: MSx + ^MSC = ^PBS + ^CBP = ^CBS

Do đó: Sx cũng là tiếp tuyến của đường tròn (BCS). Cho nên (QMN) luôn tiếp xúc (BCS) cố định (đpcm).

a) bạn thử bình phương 2 vế xem sao

b) tìm x ở pt 1 thế vào pt2

\(a,ĐKXĐ:x\ge-\frac{10}{3}\)

Ta có: \(x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+9\right)+\left(3x+10-2\sqrt{3x+10}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{3x+10}-1\right)^2=0\)

Do \(VT\ge0\forall x\)

Nên dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3=0\\\sqrt{3x+10}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=-3}\)(Tm ĐKXĐ)

Vậy pt có nghiệm x = -3

Gọi giao của đường thẳng \(\left(d\right)y=3x-1\) với trục Ox ; Oy lần lượt là \(A\left(x_A;0\right)\)và \(B\left(0;y_B\right)\)

Vì \(A\left(x_A;0\right)\in\left(d\right)\Rightarrow0=3x_A-1\)

                                  \(\Leftrightarrow x_A=\frac{1}{3}\)

Vậy \(A\left(\frac{1}{3};0\right)\)là giao của (d) với trục Ox

Vì \(B\left(0;y_B\right)\in\left(d\right)\Rightarrow y_B=3.0-1\)

                                   \(\Rightarrow y_B=-1\)

Vậy \(B\left(0;-1\right)\)là giao của (d) với trục Oy

vậy ....

\(\hept{\begin{cases}\left(x^2+3\right)\left(y^2+1\right)=-10xy\\\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{3}{20}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1=-\frac{10xy}{\left(x^2+3\right)\left(y^2+1\right)}\\\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{3}{20}=0\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{x^2+3}=a\\\frac{y}{y^2+1}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1+10ab=0\\a+b+\frac{3}{20}=0\end{cases}}\)