a. \(2x\left(3x+1\right)-7\left(3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2+2x-21x+7=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2-19x+7=0\)

\(\Delta=19^2-4.6.7=193>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{19+\sqrt{193}}{12}\\x_2=\dfrac{19-\sqrt{193}}{12}\end{matrix}\right.\)

b. \(4x^2-\left(2x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-\left(2x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2x-1\right)\left(2x+2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(4x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{4}\)

c. \(4x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow2x-1=0\\ \Leftrightarrow2x=1\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

d. \(x\left(x+2\right)-7x-14=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-7\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-7\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x-7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=7\end{matrix}\right.\)

#$\mathtt{Toru}$

Thời gian Lan đi từ nhà đến lúc hai bạn gặp nhau là:

7 giờ 15 phút - 7 giờ = 15 phút = 0,25 giờ

Thời gian Huệ đi từ nhà đến lúc hai bạn gặp nhau là:

7 giờ 15 phút - 6 giờ 30 phút = 45 phút = 0,75 giờ

Quãng đường bạn Lan đi từ nhà đến chỗ gặp nhau dài:

\(12\times0,25=3\left(km\right)\)

Quãng đường bạn Huệ đi từ nhà đến chỗ gặp nhau dài:

\(4\times0,75=3\left(km\right)\)

Quãng đường từ nhà Lan đến nhà Huệ dài:

\(3+3=6\left(km\right)\)

Thời gian Lan đi đến nơi gặp Huệ là :

$7$ giờ $15$ phút $-7$ giờ $=15$ phút $=0,25$ giờ

Quãng đường Lan đi được :

$12\times 0,25=3\left(km\right)$

Thời gian Huệ đi đến nơi gặp Lan :

$7$ giờ $15$ phút $-6$ giờ $30$ phút $=45$ phút $=0,75$ giờ

Quãng đường Huệ đi được :

$4\times 0,75=3\left(km\right)$

Quãng đường từ nhà Lan đến nhà Huệ :

$3+3=6\left(km\right)$

$(-25).(-17).4+(-20)$

$=25.17.4-20$

$=(25.4).17-20$

$=100.17-20$

$=1700-20=1680$

(-25).(-17).4+(-20)

=25.17.4+(-20)

=25.4.17+(-20)

=100.17+(-20)

=1700+(-20)

=1700-20

= 1680

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 60:2=30(m)

Chiều rộng của hình chữ nhật là: (30-6):2=12(m)

Chiều dài của hình chữ nhật là: 30 - 12 = 18(m)

Diện tích mảnh đất là: 18 x 12 = 216 (m2)

Đáp số: 216m2

                      Giải:

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là:

                  60 : 2 = 30 (m)

Gọi chiều rộng lúc đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x\) (m); 30 > \(x\) > 0

Chiều dài lúc đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là: 30 - \(x\) (m)

Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật lúc sau là:

  30 - \(x\) + 2 =  (30 + 2) - \(x\) = 32 - \(x\) (m)

Chiều rộng của hình chữ nhật lúc sau là: \(x\) + 6 (m)

Diện tích của hình chữ nhật lúc sau là:

                 (32 - \(x\))(\(x\) + 6)   (m²)  

Diện tích của mảnh  vườn hình chữ nhật lúc đầu là:  (30 - \(x\)) x \(x\) = 30\(x\) - \(x^2\) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình: 

        (32 - \(x\))(\(x\) + 6) - (30\(x\) - \(x^2\)) = 96

          32\(x\) + 192 - \(x^2\) - 6\(x\) - 30\(x\) + \(x^2\) = 96

          (32\(x\) - 6\(x\) - 30\(x\)) + 192 - (\(x^2\) - \(x^2\)) = 96

            (26\(x\) - 30\(x\)) + 192 + 0 = 96

                    - 4\(x\) + 192 = 96

                                 4\(x\) = 192 - 96

                                 4\(x\) = 96

                                \(x\) = 96 : 4

                                \(x\) = 24

Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là: 30 - 24 = 6 (m)

     6 < 24

Chiều dài nhỏ hơn chiều rộng, không có hình chữ nhật nào có kích thước thoả mãn đề bài. 

\(a.ƯCLN\left(2^2;2\cdot3^5\right)=2\\ b.ƯCLN\left(3\cdot5^2;5^2\cdot7\right)=5^2=25\\ c.ƯCLN\left(2^2\cdot3;2^2\cdot3^2\cdot5;2^4\cdot11\right)=2^2=4\\ d.ƯCLN\left(2^2\cdot3\cdot5;3^2\cdot7;3\cdot5\cdot11\right)=3\)

3)

a) Ta có:

\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}\\ =\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2a+2b+2c}{abc}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}\\ =\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)

\(=>\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right|\) 

b) 

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2024^2}+\dfrac{1}{2025^2}}\left(1\right)\\ =\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{\left(-3\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{\left(-4\right)^2}}+...+\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2024^2}+\dfrac{1}{\left(-2025\right)^2}}\)

Theo câu a \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right|\) khi \(a+b+c=0\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}1+2+\left(-3\right)=0\\1+3+\left(-4\right)=0\\....\\1+2024+\left(-2025\right)=0\end{matrix}\right.\)  

=> \(\left(1\right)=\left|1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{-3}\right|+\left|1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{-4}\right|+...+\left|1+\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{-2025}\right|\)  

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{-3}>0\\1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{-4}>0\\...\\1+\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{-2025}>0\end{matrix}\right.\) 

=> \(\left(1\right)=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{-3}+1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{-4}+...+1+\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{-2025}\\ =\left(1+1+...+1\right)+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)+...+\left(\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2024}\right)-\dfrac{1}{2025}\\ =2023+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2025}\)

4)

\(\left(12-6\sqrt{3}\right)\sqrt{\dfrac{3}{14-8\sqrt{3}}}-3\sqrt{2\left(1-\sqrt{-2\sqrt{3}+4}\right)+2\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\\ =\left(12-6\sqrt{3}\right)\sqrt{\dfrac{3}{\left(2\sqrt{2}\right)^2-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^2}}-3\sqrt{2\left(1-\sqrt{4-2\sqrt{3}}\right)+2\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1^2}}\\ =\left(12-6\sqrt{3}\right)\sqrt{\dfrac{3}{\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^2}}-3\sqrt{2\left(1-\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1^2}\right)+2\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}\\ =\left(12-6\sqrt{3}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}-3\sqrt{2\left(1-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\right)+2\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\left(12-6\sqrt{3}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}-3\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}+1\right)+2\sqrt{3}+2}\\ =\left(12-6\sqrt{3}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}-3\sqrt{2-2\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}+2}\\ =3\sqrt{2}\cdot\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}-3\sqrt{6}\\ =3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}-3\sqrt{6}\\ =3\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\ =0\)

Tỉ số giữa số bé và số lớn  là:

\(\dfrac{2}{3}:4=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\)

Hiệu số phần bằng nhau là: 

6 - 1 = 5 (phần) 

Số lớn là:

310 : 5 x 6 = 372 

Số bé là: 

372 - 310 = 62 

ĐS: ... 

\(S=\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{6}+\dfrac{13}{12}+...+\dfrac{9901}{9900}\)

\(=1+\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{6}+...+1+\dfrac{1}{9900}\)

\(=\left(1+1+1+...+1\right)+\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{99\cdot100}\right)\)

\(=99+\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=99+\left(1-\dfrac{1}{100}\right)=100-\dfrac{1}{100}=\dfrac{10000-1}{100}=\dfrac{9999}{100}\)

S = ( 1+\(\dfrac{1}{2}\) ) + ( 1 + \(\dfrac{1}{6}\) ) + .... + ( 1 + \(\dfrac{1}{9900}\) )

   = 9900 + ( \(\dfrac{1}{1.2}\) + \(\dfrac{1}{2.3}\) + ..... + \(\dfrac{1}{99.100}\) )

   = 9900 + ( 1 - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + ..... + \(\dfrac{1}{99}\) - \(\dfrac{1}{100}\) )

   = 9900 + 1 - \(\dfrac{1}{100}\)

   = 9901 - \(\dfrac{1}{100}\)

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{120}{2}\right)=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos60\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\)

=>\(\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)

b:  \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC\sqrt{2}}{2\left(AB+AC\right)}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sqrt{2}}{AB+AC}\)

=>\(\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)

c: \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{60}{2}\right)\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos30=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(\dfrac{AD}{\sqrt{3}}=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{3}}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)