Ta có : \(x^4+4x^3+4x^2-4x-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+4x^3+5x^2\right)-\left(x^2+4x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+4x+5\right)-\left(x^2+4x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+5\right)\left(x^2-1\right)=0\)

Ta thấy : \(x^2+4x+5=\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\) ( thỏa mãn )

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{-1,1\right\}\)

\(x^4+4x^3+4x^2-4x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3+3x^3+3x^2+x^2+x-5x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x+1\right)+3x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)-5\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2+x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

\(\left(x^2+1\right)^2-\left(2x+100\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1-2x-100\right)\left(x^2+1-2x+100\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-2x-99=0\\x^2-2x+101=0\left(loại\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=100\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=11\\x=-9\end{cases}}\) ( thỏa mãn )

Ta có : \(\left(36x^2+84x+49\right)\left(3x^2+7x+4\right)=6\) 

\(\Leftrightarrow\left(36x^2+84x+49\right)\left(36x^2+84x+48\right)=72\)(2)

Đặt : \(36x^2+84x+49=a\) Khi đó pt (2) có dạng :

\(a.\left(a-1\right)=72\)

\(\Leftrightarrow\left(a-9\right)\left(a+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=9\\a=-8\end{cases}}\)

+) Với \(a=9\Rightarrow36x^2+84x+49=9\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+7\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+7=3\\6x+7=-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\) ( thỏa mãn )

+) Với \(a=-8\Rightarrow36x^2+84x+49=-8\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+7\right)^2=-8\) ( vô lí )

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{-\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right\}\)

Đặt \(u=3x^2+7x+4\)

Phương trình trở thành \(\left(12u+1\right)u=6\)

\(\Leftrightarrow12u^2+u-6=0\)

Ta có \(\Delta=1^2+4.12.6=289,\sqrt{\Delta}=17\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u=\frac{-1+17}{24}=\frac{2}{3}\\u=\frac{-1-17}{24}=\frac{-3}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3x^2+7x+4=\frac{2}{3}\\3x^2+7x+4=\frac{-3}{4}\end{cases}}\)

+) \(3x^2+7x+4=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow3x^2+7x+\frac{10}{3}=0\)

Ta có \(\Delta=7^2-4.3.\frac{10}{3}=9,\sqrt{\Delta}=3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-7+3}{6}=\frac{-2}{3}\\x=\frac{-7-3}{6}=\frac{-5}{3}\end{cases}}\)

+) \(3x^2+7x+4=\frac{-3}{4}\)

\(\Rightarrow3x^2+7x+\frac{19}{4}=0\)

Ta có \(\Delta=7^2-4.3.\frac{19}{4}=-8< 0\)(vô nghiệm)

Tóm lại, phương trình chỉ có 2 nghiệm \(\left\{\frac{-2}{3};\frac{-5}{3}\right\}\)

Hướng dẫn:

a) Đặt : \(x^2-2x+1=t\)Ta có: 

\(\frac{1}{t+1}+\frac{2}{t+2}=\frac{6}{t+3}\)

b) Đặt : \(x^2+2x+1=t\)

Ta có pt: \(\frac{t}{t+1}+\frac{t+1}{t+2}=\frac{7}{6}\)

c)ĐK: x khác 0

Đặt: \(x+\frac{1}{x}=t\)

KHi đó: \(x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2\)

Ta có pt: \(t^2-2-\frac{9}{2}t+7=0\)

a) Đặt \(x^2-2x+3=v\)

Phương trình trở thành \(\frac{1}{v-1}+\frac{2}{v}=\frac{6}{v+1}\)

\(\Rightarrow\frac{v\left(v+1\right)+2\left(v+1\right)\left(v-1\right)}{v\left(v+1\right)\left(v-1\right)}=\frac{6v\left(v-1\right)}{v\left(v+1\right)\left(v-1\right)}\)

\(\Rightarrow v\left(v+1\right)+2\left(v+1\right)\left(v-1\right)=6v\left(v-1\right)\)

\(\Rightarrow v^2+v+2v^2-2=6v^2-6v\)

\(\Rightarrow3v^2-7v+2=0\)

Ta có \(\Delta=7^2-4.3.2=25,\sqrt{\Delta}=5\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}v=\frac{7+5}{6}=2\\v=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-2x+3=2\\x^2-2x+3=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

+) \(x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

+)\(x^2-2x+3=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x^2-2x+\frac{8}{3}=0\)

Ta có \(\Delta=2^2-4.\frac{8}{3}=\frac{-20}{3}< 0\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 1

Ta có vế trái của pt luôn \(\ge0\)

Do đó : \(11x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|x+\frac{1}{2}\right|=x+\frac{1}{2}\\...\\\left|x+\frac{1}{110}\right|=x+\frac{1}{110}\end{cases}}\)

Khi đó pt trở thành :

\(x+\frac{1}{2}+x+\frac{1}{6}+...+x+\frac{1}{110}=11x\)

\(\Leftrightarrow10x+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10.11}=11x\)

\(\Leftrightarrow x=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)

\(\Leftrightarrow x=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}\) ( thỏa mãn )

Vậy : pt đã cho có nghiệm \(S=\left\{\frac{10}{11}\right\}\)

Dễ thấy \(VT>0\forall x\)

\(\Rightarrow11x>0\Rightarrow x>0\)

Phương trình trở thành \(10x+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{10.11}\right)=11x\)

\(\Rightarrow x=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)

\(\Rightarrow x=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}\)

Vậy \(x=\frac{10}{11}\)

ĐKXĐ : \(x\ne2,x\ne4\)

Phương trình ban đầu tương đương :

\(\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+3}{x-4}+\frac{2}{x^2-6x+8}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)+\left(x+3\right)\left(x-2\right)+2}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}=0\)

\(\Rightarrow x^2-5x+4+x^2+x-6+2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=0\) ( Do x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{0\right\}\)

\(ĐKXĐ:x\ne2;x\ne4\)

\(\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+3}{x-4}=\frac{2}{-x^2+6x-8}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)+\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}=\frac{-2}{x^2-6x+8}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2-5x+4\right)+\left(x^2+x-6\right)}{x^2-6x+8}=\frac{-2}{x^2-6x+8}\)

\(\Rightarrow\frac{2x^2-4x-2}{x^2-6x+8}=\frac{-2}{x^2-6x+8}\)

\(\Rightarrow2x^2-4x-2=-2\)

\(\Rightarrow2x^2-4x=0\Rightarrow2x\left(x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=2\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất là 0

1) Tìm GTNN : 

Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1