\(H\left(x\right)=x^2+y^2-xy+x+y+1\)

\(\Rightarrow12H\left(x\right)=12\left(x^2+y^2-xy-x+y+1\right)\)

\(\Rightarrow12H\left(x\right)=12x^2+12y^2-12xy-12x+12y+12\)

\(\Rightarrow12H\left(x\right)=\left(12x^2-12xy+3y^2-12x+6y+3\right)+\left(9y^2+6y+9\right)\)

\(\Rightarrow12H\left(x\right)=3\left(4x^2-4xy+y^2-4x+2y+1\right)+\left(9y^2+6y+1\right)+8\)

\(\Rightarrow12H\left(x\right)=3\left[\left(2x\right)^2+y^2+1^2-2\cdot2x\cdot y-2\cdot2x\cdot1+2\cdot y\cdot1\right]+\left[\left(3y\right)^2+2\cdot3y\cdot1+1^2\right]+8\)

\(\Rightarrow12H\left(x\right)=3\left(2x-y-1\right)^2+\left(3y+1\right)^2+8\)

\(\Rightarrow H\left(x\right)=\dfrac{3\left(2x-y-1\right)^2+\left(3y+1\right)^2+8}{12}=\dfrac{\left(2x-y-1\right)^2}{4}+\dfrac{\left(3y+1\right)^2}{12}+\dfrac{2}{3}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(2x-y-1\right)^2}{4}\ge0\forall x,y\\\dfrac{\left(3y+1\right)^2}{12}\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-y-1\right)^2}{4}+\dfrac{\left(3y+1\right)^2}{12}+\dfrac{2}{3}\ge\dfrac{2}{3}\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\3y+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{1}{3}-1=0\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: ... 

a) Viết một số ngẫu nhiên có 2 hoặc 3 chữ số nhỏ hơn 200 các số có thể viết được là:

\(10;11;12;13;...;199;200\)

Số cách viết là:

\(\left(200-10\right):1+1=191\) (cách)  

b) Các số chia hết cho 2 và 5 có 2 hoặc 3 chữ số nhỏ hơn 200 là:

\(10;20;30;...;200\) 

Có: \(\left(200-10\right):10+1=20\) (số) 

Xác xuất xảy ra biến cố là:  \(P=\dfrac{20}{191}\) 

Có 11 số tự nhiên có 2 hoặc 3 chữ số được viết ra là bình phương của một số tự nhiên nhỏ hơn 200 là: \(16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196\)

Xác xuất xảy ra biến cố là:

\(P=\dfrac{11}{191}\)

a) Các số có thể viết:

10; 11; 12; ...; 198; 199

Số cách viết:

199 - 10 + 1 = 190 (cách)

b) *) Gọi A là biến cố "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 2 và 5"

Các số chia hết cho 2 và 5 có thể viết:

10; 20; 30; ...; 180; 190

Số các số đó:

(190 - 10) : 10 + 1 = 19 (số)

⇒ P(A) = 19/190 = 1/10

*) Gọi B là biến cố "Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên"

Các số là bình phương của một số tự nhiên nhỏ hơn 200:

4²; 5²; 6²; 7²; 8²; 9²; 10²; 11²; 12²; 13²; 14²

Số các số đó là:

14 - 4 + 1 = 11 (số)

⇒ P(B) = 11/190

câu a: Ta có BD là đường phân giác của ΔABC

⇒ \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{DA+DC}{DC}=\dfrac{BA+BC}{BC}\)

ta có AC = CD + AD, mà AC = AB = 15CM

\(\dfrac{15}{DC}=\dfrac{15+10}{10}\\ \dfrac{15}{CD}=\dfrac{25}{10}\\ \Rightarrow CD=\dfrac{15\cdot10}{25}=6\left(cm\right)\)

⇒ DA = AC - CD = 15 - 6 = 9 (cm)

câu b: ta có: BD ⊥ BE nên BE là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh B

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{EC}{EC+AC}=\dfrac{EC}{EC+15}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{EC}{EC+15}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow3EC=2EC+30\\ \Rightarrow3EC-2EC=30\\ \Rightarrow EC=30\left(cm\right)\)

Đây là bài toán lãi suất kép trong chương trình 12 chứ ko phải lớp 9

Ta có \(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\sqrt{a}+a\sqrt{a+1}}\) 

\(=\dfrac{1}{\sqrt{a\left(a+1\right)}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a\left(a+1\right)}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a\left(a+1\right)}}\) 

(vì \(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)=\left(a+1\right)-a=1\))

\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}\)

Do đó \(B=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=1-\dfrac{1}{10}\)

\(=\dfrac{9}{10}\)

Diện tích trần nhà là:

\(8\times3,5=28\left(m^2\right)\)

Diện tích 4 bức tường tính cả cửa là:

\(\left(8+3,5\right)\times2\times2,75=63,25\left(m^2\right)\)

Diện tích cần quét vôi là:

\(28+63,25-6=85,25\left(m^2\right)\)

  Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề hai tỉ số tổng không đổi. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp, thi violympic. Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em làm dạng này như sau:

                                 Giải

Hiệu số tuổi hai ông cháu luôn không đổi theo thời gian

Tuổi cháu 6 năm trước bằng: 1 : (9-1) = \(\dfrac{1}{8}\) (hiệu số tuổi hai ông cháu)

Tuổi cháu hiện nay bằng: 1 : (5 - 1) = \(\dfrac{1}{4}\) (hiệu số tuổi hai ông cháu)

Hiệu số tuổi hai ông cháu là: 6 : (\(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{8}\)) = 48 (tuổi)

Tuổi cháu hiện nay là: 48 x \(\dfrac{1}{4}\) = 12 (tuổi)

Đáp số:...

a) 2/30 + 2/42 + ... + 2/600

= 2×[1/(5×6) +1/(6×7) + ... + 1/(24×25)]

= 2×(1/5 - 1/6 + 1/6 - 1/7 + ... + 1/24 - 1/25)

= 2 × (1/5 - 1/25)

= 2 × 4/25

= 8/25

b) Bổ sung đề cho đúng quy luật:

5/21 + 5/77 + 5/165 + ... + 5/6885

= 5×[1/(3×7) + 1/(7×11) + 1/(11×15) + ... + 1/(81×85)]

= 5/4×(1/3 - 1/7 + 1/7 - 1/11 + 1/11 - 1/15 + ... + 1/81 - 1/85)

= 5/4 × (1/3 - 1/85)

= 5/4 × 82/255

= 41/102

Chỉ cần kết quả thôi ạ