x = 0 hoặc 1

y = 0 hoặc 1

Vì 0^n = 0

Và 1^n = 1

nói cái gì không hiểu có tâm chút giải hết nguyên bài đi 

trời ơi giúp đi mà 

hu hu hu hu huhuh huhu giúp đi mình cho bạn nick minh vip đó mình hack rồi

Ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow4\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)\ge3abc+3\left(ab+bc+ca\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)(abc = 1)

Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức Cô - si nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2\Leftrightarrow\left(1-\frac{a}{a+1}\right)+\left(1-\frac{b}{b+1}\right)+\left(1-\frac{c}{c+1}\right)=1\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)\(\Leftrightarrow\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)\(\Leftrightarrow a+b+c+2=abc\ge3\sqrt[3]{abc}+2\)(Bất đẳng thức Cô - si)

Đặt \(t=\sqrt[3]{abc}\)thì \(t^3\ge3t^3+2\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+1\right)^2\ge0\Leftrightarrow t\ge2\)(Do \(\left(t+1\right)^2>0\forall t>0\))

\(\Rightarrow abc\ge8\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge12\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2

Ta có:

\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2=\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\right]^2=\left(1+a+b+ab\right)^2\)

\(=\left[\left(ab+1\right)+\left(a+b\right)\right]^2\ge4\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\)

\(=4a^2b+4ab^2+4a+4b=\left(4a^2b+4b\right)+\left(4ab^2+4a\right)\)

\(=4a\left(1+b^2\right)+4b\left(1+a^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2}{1+c^2}\ge\frac{4a\left(1+b^2\right)}{1+c^2}+\frac{4b\left(1+a^2\right)}{1+c^2}\)

Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2}{1+a^2}\ge\frac{4c\left(1+b^2\right)}{1+a^2}+\frac{4b\left(1+c^2\right)}{1+a^2}\)

\(\frac{\left(a+1\right)^2\left(c+1\right)^2}{1+b^2}\ge\frac{4a\left(1+c^2\right)}{1+b^2}+\frac{4c\left(1+a^2\right)}{1+b^2}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(VT\ge4a\left(\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+b^2}\right)+4b\left(\frac{1+a^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\right)+4c\left(\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+a^2}\right)\)

\(\ge8a+8b+8c=8\left(a+b+c\right)=8\cdot3=24\) (BĐT Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: 

\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2=\left(ab+1+a+b\right)^2\ge4\left(ab+1\right)\left(a+b\right)=4a\left(1+b^2\right)+4b\left(1+a^2\right)\)\(\Rightarrow\frac{\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2}{1+c^2}\ge4a.\frac{1+b^2}{1+c^2}+4b.\frac{1+a^2}{1+c^2}\)