Ta có:

(4k+1)(4k+1)=16k²+8k+1=4k(4k+2)+1

4k(4k+2)+1 cũng tương tự số có dạng 4k+1 

Nên =>ĐPCM

(4k+1)(4j+1)=(4k+1)4j+4k+1=[(4k+1)j+k)]+1 chia 4 dư 1

=>đpcm

a)Do b,d>0

\(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a.d}{b.d}>\frac{c.b}{b.d}\Rightarrow a.d>b.c\)

b)Do b,d>0

=>\(ad>bc\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}>\frac{bc}{bd}\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x/3=y/7=z/1=x+2x+3z/3+14+3=100/20=5

suy ra :

x/3=5 =>x=15

y/7=5 =>y=35

z/1=5 =>z=5

\(E=\frac{x-2}{x-6}

a)\(\frac{7}{15}\) và \(\frac{10}{21}\)                          

     Vì  \(\frac{7}{15}=\frac{49}{105}\)

\(\frac{10}{21}=\frac{50}{105}\)

Mà \(\frac{49}{105}\) < \(\frac{50}{105}\)

Vậy \(\frac{7}{15}\) < \(\frac{10}{21}\)

b)\(\frac{-3}{200}\) và \(\frac{1}{9999}\)

Vì \(\frac{-3}{200}\) < 0

\(\frac{1}{9999}\) > 0

Nên \(\frac{-3}{200}\) < \(\frac{1}{9999}\)

c)\(\frac{21}{37}\) và \(\frac{199}{188}\)                           

Vì      \(\frac{21}{37}\) < 1 

\(\frac{199}{188}\) > 1

Nên \(\frac{21}{37}\) < \(\frac{199}{188}\)

d)\(\frac{-34}{57}\) và \(\frac{-343434}{575757}\)

Ta có: \(\frac{-343434}{575757}=\frac{-343434:10101}{575757:10101}=\frac{-34}{57}\)

Nên \(\frac{-34}{57}\) = \(\frac{-343434}{575757}\)

e)\(-3\frac{3}{5}\) và\(\frac{-16}{5}\)                      

 Ta có: \(-3\frac{3}{5}=\frac{-18}{5}\)

Mà \(\frac{-18}{5}\) < \(\frac{-16}{5}\)

Nên \(-3\frac{3}{5}\) < \(\frac{-16}{5}\)

g)\(\frac{-19}{59}\) và \(\frac{2009}{-2008}\)

Vì \(\frac{19}{59}\) < 1

\(\frac{2009}{2008}\) > 1

=> \(\frac{19}{59}\) < \(\frac{2009}{2008}\)

Vậy \(\frac{-19}{59}\) > \(\frac{2009}{-2008}\)

h)-0,75 và \(\frac{-3}{4}\)                                      

Ta có: -0.75 =  \(\frac{-3}{4}\)    

Vậy        -0.75 =  \(\frac{-3}{4}\)  

i) \(\frac{5}{4}\) và \(\frac{2009}{2008}\)

Ta có: \(\frac{5}{4}=\frac{2510}{2008}\)

Mà   Mà \(\frac{2510}{2008}\) > \(\frac{2009}{2008}\)

Nên \(\frac{5}{4}\) > \(\frac{2009}{2008}\)

a, \(\frac{1}{9}.27^n=3^n\Leftrightarrow\frac{1}{9}.3^{3.n}=3^n\Leftrightarrow\frac{1}{3^2}=3^n:3^{3n}\Leftrightarrow\frac{1}{3^2}=3^{n-3n}=3^{2n}\)

=> 3^2n . 3^2 = 1 => 3^( 2n + 2) = 3^0 => 2n + 2 = 0 => 2n = - 2 => n = - 1 

b, 3^-2.3^4 .3^n = 3^ 7 => 3^ ( -2 + 4 + n) = 3^7 => 3^ (n+ 2) = 3^7 => n + 2 = 7 => n = 5

Nếu \(n^4\)và a đều là số chẵn, mỗi số khác 0 và 2 thì tổng \(n^4 +a\)là số chẵn không phải số nguyên tố.

Nếu  \(n^4\)và a đều là số lẻ khác 1 thì tổng \(n^4 +a\)là số chẵn không phải số nguyên tố.

Vậy: Có vô số số tự nhiên a sao cho \(n^4 +a\) không phải số nguyên tố