\(M=x^2-4xy+4y^2-2x+4y+10\)

\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)-\left(2x-4y\right)+1+9\)

\(=\left(x-2y\right)^2-2\left(x-2y\right)+1+9\)

\(=\left(x-2y-1\right)^2+9\)

Vì \(\left(x-2y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-2y-1\right)^2+9\ge9\forall x,y\)

hay \(M\ge9\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-2y-1=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2y+1\\y=\frac{x-1}{2}\end{cases}}\)

Vậy \(M_{min}=9\)\(\Leftrightarrow x=2y+1\)hoặc \(y=\frac{x-1}{2}\)

M = x² - 4xy + 4y² - 2x + 4y + 10

= ( x² - 4xy + 4y² - 2x + 4y + 1 ) + 9

= [ ( x² - 4xy + 4y² ) - ( 2x - 4y ) + 1 ] + 9

= [ ( x - 2y )² - 2( x - 2y ) + 1² ] + 9

= ( x - 2y - 1 )² + 9 ≥ 9 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> x = 2y + 1 hoặc y = ( x - 1 )/2

=> MinM = 9 <=> x = 2y + 1 hoặc y = ( x - 1 )/2

Ta có : \(K=a^3-8b^3-6ab\left(a-2b\right)+4a-8b+10\)

\(=\left(a-2b\right)\left(a^2+2ab+4b^2\right)-6ab\left(a-2b\right)+4\left(a-2b\right)+10\)

\(=\left(a-2b\right)\left[\left(a^2+2ab+4b^2\right)-6ab+4\right]-10\)

\(=\left(a-2b\right)\left[a^2-4ab+4b^2+4\right]-10\)

\(=\left(a-2b\right)\left[\left(a-2b\right)^2+4\right]-10\)

Thay a - 2b = 3 ta được : 

\(3\left[3^2+4\right]-10=3.13-10=39-10=29\)

K = a³ - 8b³ - 6ab( a - 2b ) + 4a - 8b + 10

= ( a³ - 8b³ ) - 6ab.3 + ( 4a - 8b ) + 10

= ( a - 2b )( a² + 2ab + 4b² ) - 18ab + 4( a - 2b ) + 10

= 3( a² + 2ab + 4b² ) - 18ab + 4.3 + 10

= 3a² + 6ab + 12b² - 18ab + 12 + 10

= 3a² - 12ab + 12b² + 22

= 3( a² - 4ab + 4b² ) + 22

= 3( a - 2b )² + 22

= 3.3² + 22 

= 27 + 22 = 49

\(\left(x^2+2x\right)^2-2x^2-4x=3\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+4x^2-2x^2-4x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+2x^2-4x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=\pm1;-3\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c-a\\y=c+a-b\\z=a+b-c\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2b=x+z\\2a=y+z\end{cases}}\)

Nhân cả hai vế của bđt với 2 ta được bđt mới :

\(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\ge6\)

<=> \(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\ge6\)

<=> \(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\ge6\)(*)

Bất đẳng thức cuối đúng vì theo AM-GM ta có

 \(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\ge6\sqrt[6]{\frac{y}{x}\times\frac{z}{x}\times\frac{x}{y}\times\frac{z}{y}\times\frac{x}{z}\times\frac{y}{z}}=6\)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c

Không chắc lắm '-'

\(x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=\left(x-y\right)\left(x-1\right)\)

Ta có : ABCD là hình thoi

=> 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=> O là trung điểm của BD

và O là trung điểm của AC

=> OA = OC

mà AE = CF (gt)

=> OA - AE = OC - CF

=> OE = OF

=> O là trung điểm của EF

mà O là trung điểm của BD

=> EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=> Tứ giác BEDF là hình bình hành

mà EF vuông góc với BD ( do AC vuông góc với BD )

=> Tứ giác BEDF là hình thoi

( 2x - 3 )( 4 + 3x )

= 8x + 6x² - 12 - 9x

= 6x² - x - 12

= 6( x² - 1/6x + 1/144 ) - 289/24

= 6( x - 1/12 )² - 289/24 ≥ -289/24 ∀ x

Dấu bằng xảy ra khi x = 1/12

=> GTNN của biểu thức = -289/24 <=> x = 1/12