(Nghệ An)
Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\ge3\). Chứng minh rằng
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2x}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{2}{y}}=2\sqrt{2}\)
=> \(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\) ; \(z^2+1\ge2z\)
\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(y^2+z^2\ge2yz\) ; \(z^2+x^2\ge2zx\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
1) Áp dụng bất đẳng Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)
(Cauchy 3 số) Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
2) Áp dụng kết quả phần 1 ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{\left(a^3+b^2+c^3\right)^2}{3\cdot\frac{1}{3}}=\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :
\(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{9}{3a}+\frac{4}{2b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Trước hết, ta chứng minh được \(\forall m,n,p\in R;x,y,z>0\)thì:
\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\left(1\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}\)
Thật vậy: \(\forall m,n\in R;x,y>0\)thì:
\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{m^2y}{xy}+\frac{n^2x}{xy}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2y+n^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(m+n\right)^2\)
\(\Leftrightarrow m^2xy+m^2y^2+n^2x^2+n^2xy\ge xy\left(m^2+2mn+m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2\ge m^2xy+2mnxy+n^2xy\)
\(\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2-m^2xy-2mnxy-n^2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2y^2-2mnxy+n^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(my-nx\right)^2\ge0\)(luôn đúng).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}\)
Áp dụng bất dẳng thức (2), ta được:
\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\forall m,n,p\in R;x,y,z>0\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}\)
Theo đề bài, vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức (1), ta được:
\(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3^2}{3a}+\frac{2^2}{2b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{6^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow6a=9b=18c\)
Vậy với \(a,b,c>0\)thì \(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{36}{3a+2b+c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{x+2y}\)(1)
Từ GT x + 2y ≤ 3z => \(\frac{1}{x+2y}\ge\frac{1}{3z}\)<=> \(\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{3}{z}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1