Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c;b+c>a;c+a>b\\a+b;b+c;c+a< a+b+c\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+c+a+c}=\frac{2}{2\left(a+c\right)}=\frac{1}{a+c}\)

Chứng minh tương tự , ta được: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{1}{a+b}\)

                                                     \(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}>\frac{1}{b+c}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Đặt A = n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n

= n³(n - 4) - 4n(n - 4)

= (n - 4)(n³ - 4n)

= (n - 4)n(n² - 4)

= (n - 4)n(n - 2)(n + 2)

= (n - 4)(n - 2)n(n + 2) 

Vì n chẵn => n = 2k (k \(\inℕ^∗\))

Khi đó A = (2k - 4)(2k - 2)2k(2k + 2)

= 2(k - 2).2(k - 1).2k.2(k + 1)

= 16(k - 2)(k - 1)k(k + 1) 

Vì (k - 2)(k - 1)k(k + 1) là tích 4 số nguyên liên tiếp 

=> Tồn tại 2 số chia hết cho 2 ; 4 

Mà  n > 4 => k > 2 

 => (k - 2)(k - 1).k(k + 1) \(⋮\)8 

lại có (k - 2)(k - 1)k(k + 1)  \(⋮\)3 (tích 4 số liên tiếp => tồn tại 1 số chia hết cho 3)

Mà ƯCLN(8;3) = 1

=> (k  - 2)(k - 1)k(k + 1) \(⋮\)8.3 = 24

=> A \(⋮\)384 

n chẵn > 4 mà Xyz ? 

a, \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{1}{4}-5x\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x+2x}{6}=\frac{1}{4}-\frac{20x}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5x}{6}=\frac{1-20x}{4}\Rightarrow20x=6-120x\)

\(\Leftrightarrow140x-6=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{70}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3/70 }

mk xl chỗ mà x5 hóa ra là x/5

Dựng đường cao AH (H thuộc BC)

Dựng trung tuyến AM, G là trọng tâm \(\Rightarrow\frac{MG}{AM}=\frac{1}{3}\)

\(S_{ABC}=\frac{BC.AH}{2}\) Ta có \(S_{ABC}\) không đổi, BC cố định không đổi => AH không đổi => A chạy trên đường thẳng d//BC

Từ G dựng GK//AH (K thuộc BC)

\(\Rightarrow\frac{MG}{AM}=\frac{KG}{AH}=\frac{1}{3}\) (Talet trong tam giác) \(\Rightarrow KG=\frac{AH}{3}\) không đổi

Mà GK//AH, AH vuông góc với BC => GK vuông góc với BC => G chạy trên đường thẳng //BC cách BC 1 khoảng không đổi\(=\frac{AH}{3}\)

Ta có : \(x+\frac{1}{x}=3\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=9\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=7\)

\(\Rightarrow C=x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2=7^2-2=47\)

Vậy \(C=47\)

Áp dụng BĐT Cauchy và Cauchy - Schwarz ta có:

 \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy\cdot\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{1^2}=4+2+5=11\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Gọi ABCD là tứ giác có:AB=6cm,CD=18cm,AC=12cm,BD=16cm,AC và BD đi qua E

Suy ra AE/EC=BE/ED=AB/DC=1/3

Suy ra AE/AE + EC = BE/BE + ED = 1/3+1

Suy ra AE/AC=BE/BD=1/4

Suy ra AE=1/4 AC=3 suy ra CE=AC - AE=9

BE=1/4 BD = 4 suy ra DE=BD - DE=12

\(\left(\frac{x}{2}+1\right)^3-\frac{x^3}{2}-4=0\)

kĩ thuật nhân thêm 2 : 

\(2\left(\frac{x}{2}+1\right)^3-\frac{x^3}{2}-8=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{4}+x^2+x+\frac{x^2}{2}+2x+2-x^3-8=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-3x^3}{4}+\frac{3x^2}{2}+3x-6=0\)

\(\Leftrightarrow-3\left(\frac{x^3}{4}-\frac{x^2}{2}-x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2-4x+8}{4}=0\Leftrightarrow x^3-2x^2-4x+8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)-4\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=\pm2\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = { -2 ; 2 }