a: Xét (O) có

ΔCMD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCMD vuông tại M

Xét tứ giác NODM có \(\widehat{NOD}+\widehat{NMD}=90^0+90^0=180^0\)

nên NODM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có CD,AB là các đường kính và CD\(\perp\)AB

nên \(sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{CB}=sđ\stackrel\frown{AD}=sđ\stackrel\frown{BD}=90^0\)

Xét (O) có \(\widehat{MNA}\) là góc có đỉnh trong đường tròn chắn hai cung AM,CB

nên \(\widehat{MNA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CB}\right)\)

=>\(\widehat{MNA}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{MC}\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

nên \(\widehat{MBC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{MC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MNA}=\widehat{MBC}\)

Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow z=1-x-y\)

Khi đó: \(xy+z=xy+1-x-y\)

\(=x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)       (1)

Tương tự, ta cũng có: \(\left\{{}\begin{matrix}yz+x=\left(y-1\right)\left(z-1\right)\\zx+y=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\end{matrix}\right.\)  (2)

Lại có: \(x+y+z=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1-z\\y+z=1-x\\z+x=1-y\end{matrix}\right.\)    (3)

Thay (1); (2) và (3) vào \(T\), ta được:

\(T=\dfrac{\left[\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\left[\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]}{\left(1-z\right)^2\left(1-x\right)^2\left(1-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2}{\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2}=1\)

Vậy \(T=1\).

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHCB vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HCB}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHCB

=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HA}{HB}\)

=>\(HB^2=HA\cdot HC\)

b: Ta có: HM\(\perp\)BA

BC\(\perp\)BA

Do đó: HM//BC

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔHNC vuông tại N có

\(\widehat{MHA}=\widehat{NCH}\)(hai góc đồng vị, MH//BC)

Do đó: ΔAMH~ΔHNC

c: Xét tứ giác BMHN có \(\widehat{BMH}=\widehat{BNH}=\widehat{MBN}=90^0\)

nên BMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{NMH}=\widehat{NBH}\)

mà \(\widehat{NBH}=\widehat{BAC}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)

nên \(\widehat{NMH}=\widehat{BAC}\)

Ta có: BMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{MNH}=\widehat{MBH}\)

mà \(\widehat{MBH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{A}\right)\)

nên \(\widehat{MNH}=\widehat{C}\)

Ta có: ΔCHN vuông tại N

mà NI là đường trung tuyến

nên IN=IH

=>ΔINH cân tại I

=>\(\widehat{INH}=\widehat{IHN}\)

mà \(\widehat{IHN}=\widehat{A}\)(hai góc đồng vị, NH//AB)

nên \(\widehat{INH}=\widehat{A}\)

Ta có: ΔHMA vuông tại M

mà MK là đường trung tuyến

nên KH=KM

=>ΔKHM cân tại K

=>\(\widehat{KMH}=\widehat{KHM}\)

mà \(\widehat{KHM}=\widehat{C}\)(hai góc đồng vị, MH//BC)

nên \(\widehat{KMH}=\widehat{C}\)

\(\widehat{INM}=\widehat{INH}+\widehat{MNH}=\widehat{C}+\widehat{A}=90^0\)

=>IN\(\perp\)NM(1)

\(\widehat{KMN}=\widehat{KMH}+\widehat{NMH}=\widehat{C}+\widehat{A}=90^0\)

=>NM\(\perp\)MK(2)

Từ (1),(2) suy ra MK//NI

Xét tứ giác KMNI có MK//NI

nên KMNI là hình thang

Hình thang KMNI có IN\(\perp\)NM

nên KMNI là hình thang vuông

a: Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(\dfrac{DE}{8}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(DE=8\cdot\dfrac{2}{5}=3,2\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác BDFC có

BD//FC

DF//BC

Do đó: BDFC là hình bình hành

=>DF=BC=8cm

DE+EF=DF

=>EF+3,2=8

=>EF=4,8(cm)

Xét ΔIFE và ΔIBC có

\(\widehat{IFE}=\widehat{IBC}\)(hai góc so le trong, FE//BC)

\(\widehat{FIE}=\widehat{BIC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIFE~ΔIBC

=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{FE}{BC}\)

=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{4.8}{8}=\dfrac{3}{5}\)

c: Xét ΔIFC và ΔIBA có

\(\widehat{IFC}=\widehat{IBA}\)(hai góc so le trong, FC//BA)

\(\widehat{FIC}=\widehat{BIA}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIFC~ΔIBA

=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{IC}{IA}\)

=>\(\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{IE}{IC}\)

=>\(IC^2=IE\cdot IA\)

Gọi độ dài của quãng đường AB là: \(x\left(km\right)\)

ĐK: \(x>0\)

Tổng vận tốc khi đi và về là: \(2\cdot40=80\left(km\right)\)

Vận tốc về là: \(\left(80+5\right):2=\dfrac{85}{2}\left(km/h\right)\)

Vận tốc đi là: \(\left(80-5\right):2=\dfrac{75}{2}\left(km/h\right)\)

Thời gian về là: \(x:\dfrac{85}{2}=\dfrac{2x}{85}\left(h\right)\)

Thời gian đi là: \(x:\dfrac{75}{2}=\dfrac{2x}{75}\left(h\right)\)

Thời gian về ít hơn thời gian đi 40p nên ta có pt:

\(\dfrac{2x}{75}-\dfrac{2x}{85}=\dfrac{40}{60}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{34x}{1275}-\dfrac{30x}{1275}=\dfrac{850}{1275}\)

\(\Leftrightarrow34x-30x=850\)

\(\Leftrightarrow4x=850\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{425}{2}\left(tm\right)\)

Vậy: .... 

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B: x/40 (h)

Thời gian đi từ B về A: x/45 (h)

40 phút = 2/3 h

Theo đề bài ta có phương trình:

x/40 - x/45 = 2/3

9x - 8x = 240

x = 240 (nhận)

Vậy quãng đường AB dài 240 km

Gọi diện tích rừng phải trồng theo kế hoạch là x(ha)

(ĐIều kiện: x>0)

Diện tích rừng trồng được trong thực tế là x+5(ha)

Thời gian dự kiến hoàn thành công việc là \(\dfrac{x}{15}\left(ngày\right)\)

Thời gian thực  tế hoàn thành công việc là \(\dfrac{x+5}{20}\left(ngày\right)\)

Vì công việc hoàn thành trước 1 tuần=7 ngày nên ta có:

\(\dfrac{x}{15}-\dfrac{x+5}{20}=7\)

=>\(\dfrac{4x-3\left(x+5\right)}{60}=7\)

=>4x-3(x+5)=420

=>x-15=420

=>x=435(nhận)

Vậy: Diện tích rừng phải trồng là 435ha

Bài 2:

a; 10\(x\) - 12 = 3\(x\) + 6 + \(x\)

    10\(x\) - 3\(x\) - \(x\) = 12  + 6

        6\(x\)            = 18

          \(x\)             = 18: 6

          \(x\)             = 3

Vậy \(x\) = 3

b; \(\dfrac{x-2}{4}\) - \(\dfrac{x}{12}\) = \(\dfrac{x-1}{6}\) - \(\dfrac{1}{3}\)

    3.(\(x-2\)) - \(x\) = 2.(\(x-1\)) - 4

     3\(x\) - 6  - \(x\)    = 2\(x\) - 2 - 4

    3\(x\) - \(x\) - 2\(x\)   = 6 - 2 - 4

        0 \(\times\) \(x\) = 0 \(\forall\) \(x\)

               vậy  \(x\) \(\in\) R

c; (\(x+1\))(2\(x\) - 3) = (2\(x\) - 1).(\(x+5\))

      2\(x^2\) - 3\(x\) + 2\(x\) - 3 = 2\(x^2\) + 10\(x\) - \(x\) - 5

      2\(x^2\) - 3\(x\) + 2\(x\) - 3 - 2\(x^2\) - 10\(x\) + \(x\) + 5 = 0

     (2\(x^2\) - 2\(x^2\)) + (- 3\(x\) + 2\(x\) - 10\(x\) + \(x\)) + (5 - 3) = 0

              0 -  10\(x\)     + 2 = 0

                   10\(x\)  = 2

                       \(x\)  = \(\dfrac{2}{10}\)

                         \(x=\dfrac{1}{5}\)

       Vậy \(x=\dfrac{1}{5}\)

a: \(A=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x}{1-x^2}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)-2x-x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-3x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{x-1}{x+1}\)

b: |x-1|=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=2\\x-1=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Khi x=3 thì \(A=\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

c: Để A là số nguyên thì \(x-1⋮x+1\)

=>\(x+1-2⋮x+1\)

=>\(-2⋮x+1\)

=>\(x+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(x\in\left\{0;-2;-3\right\}\)

Do khi bớt số đó đi 3 thì được số có hai chữ số giống nhau nên chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3

Chữ số hàng đơn vị là:

(11 + 3) : 2 = 7

Chữ số hàng chục là:

7 - 3 = 4

Vậy số cần tìm là 47

Lời giải của bạn @Kiều Vũ Linh chỉ được 6 điểm. Vì đúng đáp số nhưng LẬP LUẬN SAI (Chính xác là xét thiếu trường hợp, dẫn đến kết luận thiếu).

Bạn ấy nói: "Do khi bớt số đó đi 3 thì được số có hai chữ số giống nhau nên chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3".

Điều đó sai. Vì bạn bỏ sót trường hợp phép trừ "mượn" 1 đơn vị hàng chục. Ví dụ: 80-3=77 ==> ở đây "Chữ số hàng đơn vị không lớn hơn chữ số hàng chục là 3" như bạn kết luận.

Trước khi bạn lập luận như vậy, bạn phải loại trừ trường hợp như ví dụ tôi nêu, đó là: "Do tổng các chữ số của số có 2 chữ số cần tìm là 11 nên cả 2 chữ số của số cần tìm đều >0".

Sau đó bạn mới có thể chốt: "Do khi bớt số đó đi 3 thì được số có hai chữ số giống nhau nên chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3."

================================================

BẠN NÀO THỰC SỰ MUỐN GIỎI TOÁN THÌ LIÊN HỆ VỚI MÌNH NHÉ (h u n g v t 1 8 1 @ g m a i l . c o m). Nhà mình gần SVĐ Mỹ Đình. MÌNH KÈM CẶP, DẠY CÁC BẠN CÁCH TƯ DUY ĐỂ GIỎI TOÁN (từ lớp 3 - lớp 12). Mình kg công tác trong ngành giáo dục nhưng là dân Chuyên toán Sư Phạm những năm 1986-1989, và đã từng giảng dạy chuyên môn cho các Tiến sỹ ngoại quốc. (Mình đã nghỉ hưu nên có nhiều thời gian. Kinh tế mình đủ sống nên mình giúp các bạn MIỄN PHÍ). CHỈ YÊU CẦU CÁC BẠN HỌC NGHIÊM TÚC.

a) Do ∆DEF cân tại D (gt)

⇒ DE = DF

Do M là trung điểm của EF (gt)

⇒ ME = MF

Xét ∆DEM và ∆DFM có:

DE = DF (cmt)

DM là cạnh chung)

ME = MF (cmt)

⇒ ∆DEM = ∆DFM (c-c-c)

b) Sửa đề: Chứng minh DM ⊥ EF

Do ∆DEM = ∆DFM (cmt)

⇒ ∠DME = ∠DMF (hai góc tương ứng)

Mà ∠DME + ∠DMF = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠DME = ∠DMF = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ DM ⊥ EF

c) Xét ∆DEM và ∆KFM có:

DM = KM (gt)

∠DME = ∠KMF (đối đỉnh)

ME = MF (cmt)

⇒ ∆DEM = ∆KFM (c-g-c)

⇒ DE = KF (hai cạnh tương ứng)

Mà DE = DF (cmt)

⇒ KF = DF

⇒ ∆FDK cân tại F