| x - 1 | + | x - 3 | + x - 4 = 0

Xét ba trường hợp :

+) x < 1

pt <=> -( x - 1 ) - ( x - 3 ) + x - 4 = 0

<=> -x + 1 - x + 3 + x - 4 = 0

<=> -x = 0 <=> x = 0 (tm)

+) 1 ≤ x < 3

pt <=> x - 1 - ( x - 3 ) + x - 4 = 0

<=> 2x - 5 - x + 3 = 0

<=> x - 2 = 0 <=> x = 2(tm)

+) x ≥ 3

pt <=> x - 1 + x - 3 + x - 4 = 0

<=> 3x - 8 = 0 <=> x = 8/3(ktm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 0 ; 2 }

Lớn hơn hoặc bằng hay là bằng?

Đinh Chỉ Tịnh ≥

Ta có :\(\frac{x-1}{2013}+\frac{x-2}{2012}+\frac{x-3}{2011}=\frac{x-4}{2010}+\frac{x-5}{2009}+\frac{x-6}{2008}\)

<=> \(\frac{x-1}{2013}-1+\frac{x-2}{2012}-1+\frac{x-3}{2011}-1=\frac{x-4}{2010}-1+\frac{x-5}{2009}-1+\frac{x-6}{2008}-1\)

<=> \(\frac{x-2014}{2013}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{x-2014}{2011}=\frac{x-2014}{2010}+\frac{x-2014}{2009}+\frac{x-2014}{2008}\)

<=> \(\frac{x-2014}{2013}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{x-2014}{2011}-\frac{x-2014}{2010}-\frac{x-2014}{2009}-\frac{x-2014}{2008}=0\)

<=> \(\left(x-2014\right)\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2009}-\frac{1}{2008}\right)=0\)

<=> x - 2014 = 0 (Vì \(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2009}-\frac{1}{2008}\ne0\))

<=> x = 2014

Vậy x = 2014 là nghiệm phương trình

a) 9x² + 4y² = 20xy

<=> 9x² - 20xy + 4y² = 0

<=> 9x² - 18xy - 2xy + 4y² = 0

<=> 9x( x - 2y ) - 2y( x - 2y ) = 0

<=> ( x - 2y )( 9x - 2y ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2y=0\\9x-2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{9}{2}x\end{cases}}\)

Vì y < 3/2x => y = 1/2x

Từ đây bạn tự thay vào nhớ

b) Thêm điều kiện a,b,c là các số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng vế với vế các bđt trên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

gọi F là giao AH và BC

vì tam giác ABC có 2 đường cao CE và BD cắt nhau tại H

=> H là trực tâm tam giác ABC

=>AH vuông góc với BC    hay AF vuông góc với BC

Xét tam giác BHF và tam giác BCD có:

             góc HBF chung

             góc BCD=góc BFH=90 độ(gt)

=>tam giác BHF đồng dạng với tam giác BCD(g-g)

=>BH/BF = BC/BD

=>BH.BD=BF.BC    (1)

Xét tam giác CFH và tam giác CEB có:

                góc HCF chung

                góc CFH=góc CEB=90 độ(gt)

=>tam giác CFH đồng dạng tam giác CEB(g-g)

=>CH/CF = CB/CE

=>CH.CE=CF.CB    (2)

Từ (1),(2) => BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.CB

                                              =BC.(CF+BF)=BC.BC=BC² (đpcm)

có $f\left(x\right)=\left(x+1\right)A\left(x\right)+5$

$f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)B\left(x\right)+x+2$

do f(x) chia cho $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$là bậc 3 nên số dư là bậc 2. ta có $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)C\left(x\right)+a{x}^2+bx+c=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)C\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a$

$=\left(x^2+1\right)\left(C\left(x\right).x+C\left(x\right)+a\right)+bx+c-a$

Vậy $bx+c-a=x+2\Rightarrow \text{hept}\{\begin{array}{c}b=1\\ c-a=2\end{array}$

mặt khác ta có $f\left(-1\right)=5\iff a-b+c=5\Rightarrow a+c=6\Rightarrow \text{hept}\{\begin{array}{c}a=2\\ c=4\end{array}$

vậy số dư trong phép chia f(x) cho $x^3+x^2+x+1$là $2x^2+x+4$