a) Ta có góc OAM = góc OHM = 90⁰

suy ra OAMH là tứ giác nội tiếp

b) CM tương tự ta cũng có tứ giác OHEB nội tiếp

góc OMA = góc OHA ( cùng chắn cung OA)(1)

góc OHA = góc OEB ( cùng chắn cung OB)(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc OMA  = gocs OEB

Suy ra: tam giác OMA = tam giác OEB (gcg)

nên OM = OE

tam giác OME cân có OH là đường cao đồng thời là trung tuyến

=> HM= HE

Đặt \(A=\sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}\)

<=> \(A^2=\left(\sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}\right)^2\)

<=> \(A^2=6,5+\sqrt{12}+2\sqrt{\left(6,5+\sqrt{12}\right)\left(6,5-\sqrt{12}\right)}+6,5-\sqrt{12}\)

<=> \(A^2=13+2\sqrt{42,25-12}\)

<=> \(A^2=13+2\sqrt{\frac{121}{4}}\)

<=> \(A^2=13+2\cdot\frac{11}{2}=13+11=24\)

=> \(A=2\sqrt{6}\)

Vậy \(\sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}\)

a) Ta có: đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm A (2:1) 

=> 2a+b=1 (1)

   Lại có: đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5

=> b=5 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 2a+5=1 

                          => a= -2

b) Gía trị của m để (P) và (d) có 1 điểm chung duy nhất là 

       3x² =2x+m

     => 3x²-2x-m

    \(\Delta'=1+3m\) 

       => m= -1/3

Tọa độ điểm chung là:

   3x²=2x-1/3

  => 3x²-2x+1/3

  => x=1/3

 thay x=1/3 vào vào parabol (P) ta đc: y= 3(1/3)²

                                                       y=1/3

 => Tọa độ ddiemr chung là (1/3; 1/3)

Đặt BC=a; AC=b; AB=c

Từ M dựng các đường vuông góc với BC; AC; AB cắt lần lượt tại D;E;F

Đặt MD=x; ME=y; MF=z

\(S_{ABC}=S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}=\frac{ax+by+cz}{2}\) áp dụng bđt cosi

\(\frac{ax+by+cz}{3}\ge\sqrt[3]{ax.by.cx}\Rightarrow\frac{ax+by+cz}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}\ge\frac{3.\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{xyz}}{2}\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{2.S_{ABC}}{3.\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}\) xyz lơn nhất khi \(xyz=\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}=const\)

Dấu = xảy ra khi ax=by=cz \(\Rightarrow S_{MBC}=S_{MAC}=S_{MAB}\)

Nối AM cắt BC tại K, Từ B và C dựng đường vuông góc với AK cắt AK lần lượt tại P và Q

Xét tg MAB và tg MAC có chung đáy AM và S(MAB)=S(MAC) => hai đường cao tương ứng BP=CQ

Xét tg vuông BKP và tg vuông CKQ có 

^PBK = ^QCK (góc so le trong)

BP=CQ (cmt)

=> tg BKP = tg CKQ (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BK=CK => AM là trung tuyến của tg ABC

C/m tương tự ta cũng có BM, CM là trung tuyến của tg ABC

=> M là trọng tâm của tg ABC

Để phương trình có nghiệm thì : \(\Delta\) dương.

Ta có :\(\Delta=\left(-2a\right)^2-4.\left[-\left(a+3\right)\right].1\)

\(=4a^2+4a+12>0\). Vì phương trình có nghiệm nguyên nên \(\Delta\) chính phương.

Đặt \(4a^2+4a+12=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)^2+11=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(k-2a-1\right)\left(k+2a+1\right)=11\)

Đến đây bạn giải phương trình nghiệm nguyên theo cặp ước rồi thay vào pt ban đầu tìm ra x nhé.

\(x^2-2ax-\left(a+3\right)=0\)

<=> \(x^2-2ax+a^2-\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)-\frac{11}{4}=0\)

<=>  \(\left(x-a\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(x-a-a+\frac{1}{2}\right)\left(x-a+a-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(x-2a+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(2x-4a+1\right)\left(2x-1\right)=11=1.11\)

Lập bảng:

Vậy ...

Xét ∆ABE và ∆ACF có:

\(\widehat{A}\left(chung\right)\)

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\)∆ABE ~ ∆ACF (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ∆AEF và ∆ABC có:

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{A}\left(chung\right)\)\

\(\Rightarrow\)∆AEF ~ ∆ABC (đpcm)

Ta có: \(\tan B=\frac{ÁD}{DB};\tan C=\frac{AD}{DC}\)

Xét ∆ADC và ∆BDH có:

\(\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\)( cùng phụ với \(\widehat{C}\))

\(\widehat{ADC}=\widehat{BDH}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\)∆ADC ~ ∆ BDH (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AD}{DC}=\frac{BD}{DH}\)

\(\Rightarrow\tan B\cdot\tan C=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{AD}{DC}=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BD}{DH}=\frac{AD}{DH}\)(đpcm)

Đặt A = \(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}\)

A = \(\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}\)

A = \(\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}\)

A² = \(\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2}{\left(\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\right)^2}\)

A² = \(\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)

A² = \(\frac{6+2\sqrt{6-5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)

A² = \(\frac{8\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}\)

A² = \(\frac{8\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{3-5}=-4\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\)

A² = \(4\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)

=> A = \(2.\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)

P/s : làm bừa thôi!

\(\sqrt{x-2018}+\sqrt{x^2+11}+x^2=\sqrt{y^2+11}+\sqrt{y-2018}+y^2\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

\(\Rightarrow M=x^{11}-x^{2018}\)

Đến đây em tịt !!