P/s : sửa đề

\(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(A=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(A=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

\(A=\left|1-2x\right|+\left|2x-3\right|\ge\left|1-2x+2x-3\right|=\left|-2\right|=2\)

Vậy min A = 2 khi và chỉ khi ...........................

Sửa một chút : \(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

\(=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :

\(A=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|2x-1+3-2x\right|=\left|2\right|=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)

=> \(\left(2x-1\right)\left(3-2x\right)\ge0\)

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}2x-1\ge0\\3-2x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge1\\-2x\ge-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\x\le\frac{3}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

2. \(\hept{\begin{cases}2x-1\le0\\3-2x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\le1\\-2x\le-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{1}{2}\\x\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)( loại )

=> MinA = 2 <=> \(\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

\(M=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{7}\)

\(=\left[\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right]:\frac{\sqrt{x}-1}{7}\)

\(=\left[\frac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right]:\frac{\sqrt{x}-1}{7}\)

\(=\left[\frac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right]:\frac{\sqrt{x}-1}{7}\)

\(=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{7}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2.7}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{7}{x+\sqrt{x}+1}\)

Ta có : \(1+cot^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}\) (*)

Chứng minh (*) :

(*) tương đương : 

\(sin^2\alpha+cot^2\alpha\cdot sin^2\alpha=1\)

\(\Leftrightarrow sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) ( Luôn đúng )

Do đó : \(1+cot^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}\)

Mà : \(cot\alpha=\frac{3}{4}\Rightarrow cot^2\alpha=\frac{9}{16}\)

Thay vào công thức ta được :

\(1+\frac{9}{16}=\frac{1}{sin^2\alpha}\Leftrightarrow\frac{25}{16}=\left(\frac{5}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{sin\alpha}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow sin\alpha=\frac{4}{5}\)

Vậy \(sin\alpha=\frac{4}{5}\)

Giả sử 90<a<0=> tana>0, cota>0 ---> Áp dụng BĐT Cauchy:

\(tana+cota\ge2\sqrt{tana.cota}=2\)

Đề bài yêu cầu xét dấu = vậy \(tana=cota\)mà \(tana+cota=2\Rightarrow tana=cota=1\)

Vậy a=45 

Thực ra còn 1 trường hợp khác đó là a=135 nhưng mà bài này gắn mác lớp 9 nên mình chỉ làm được đến đó thoi.

\(C=sin^4a\left(3-2sin^2a\right)+cos^4a\left(3-2cos^2a\right)\)

\(=sin^4a\left(1+2cos^2a\right)+cos^4a\left(1+2sin^2a\right)\)

\(=sin^4a+cos^4a+2sin^2a.cos^2a\left(sin^2a+cos^2a\right)\)

\(=sin^4a+cos^4a+2sin^2a.cos^2a=\left(sin^2a+cos^2a\right)^2=1\)

\(B=\left(3sina+4cosa\right)^2+\left(4sina-3cosa\right)^2\)

\(=9sin^2a+24sina.cosa+16cos^2a+16sin^2a-24sina.cosa+9cos^2a\)

\(=33sin^2a+33cos^2a=33\)