Gọi vận tốc của hai người ban đầu là x (km/h) (x > 0 )

Sau khi đi 1 giờ, quãng đường còn lại là 60 - x (km)

Thời gian người thứ nhất đi quãng đường đó là : 

Thời gian người thứ hai đi quãng đường đó là: 

Theo bài ra ta có phương trình: 

Giải ta ta tìm được x = 20 (km/h).

Ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).

Áp dụng ta được: 

\(A=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{4}{\left(y+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(y+2\right)^2}{2^2}}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)

\(\ge\frac{8}{\left(x+1+\frac{y+2}{2}\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\ge\frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5\right)^2}=\frac{256}{\left(2x+y+2z+10\right)^2}\)

Ta có: \(2x+4y+2z\le x^2+1+y^2+4+z^2+1=x^2+y^2+z^2+6\le3y+6\)

\(\Rightarrow2x+y+2z\le6\)

Suy ra \(A\ge\frac{256}{\left(6+10\right)^2}=1\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=z=1,y=2\). 

Đặt \(A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\left(a,b,c>0\right)\)

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)với \(x,y>0\)\(\left(1\right)\).

Thật vậy, giả sử \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)với \(x,y>0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x,y>0\)).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y>0\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b>0\), ta được:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\).

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)=ab\left(a+b\right)+abc\).

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+c\right)\)(vì \(abc=1\)).

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\ge\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)(vì \(abc=1\)) \(\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)

.Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\)với \(b,c>0\)\(\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)với \(c,a>0\)\(\left(4\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).

Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\ge\frac{c}{a+b+c}+\)\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

Vậy \(min\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)=1\)\(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

\(\)

Nhầm, \(max\)nhé, mà sau "Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được" thì hãy sửa lại dấu \(\ge\)thành \(\le\).

Điều kiện:\(\hept{\begin{cases}x\ge0\\9-x\ne0\\\sqrt{x}-2\ne0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\\x\ne\pm4\end{cases}}\)

P=(\(\frac{2\sqrt{x}}{9-x}+\frac{1}{3+\sqrt{x}}\))\(\frac{x\left(3-\sqrt{x}\right)}{3+\sqrt{x}}\)

=\(\frac{2\sqrt{x}+3-\sqrt{x}}{\left(3+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\).\(\frac{x\left(3-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-2}\)

=\(\frac{3+\sqrt{x}}{\left(3+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}.\frac{x\left(3-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-2}\)

=\(\frac{x}{\sqrt{x}-2}\)(với x>=0; x khác 9; x khác +- 4)

thứ vô duyên cà chớn

chuc mung ban da duoc ve bc