Mình nghĩ đề là: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\) và \(xy=192\)

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=k\) => x = 3k; y = 4k

Theo đề bài, ta có: xy = 192 

                    hay 3k.4k = 192 

                      => 12.k²=192

                     => k² = 192/12 =16

                     => k = 4 hoặc k = -4

+) Trường hợp k = 4 => x = 12 và y = 16

+) Trường hợp k = -4 => x = -12 và y = 16.

Vậy có hai cặp số (x;y) là: (12;16);(-12;-16).

a) Ta có: \(\widehat{xOy}=140^0\)

              \(\widehat{xOA}=\widehat{yOB}=90^0\) ( do \(OA\perp Ox,OB\perp Oy\) )

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=360-\left(\widehat{xOy}+\widehat{xOA}+\widehat{yOB}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=360^0-\left(140^0+90^0+90^0\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=40^0\)

\(OM\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)

\(\Rightarrow\widehat{xOM}=\widehat{MOy}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}=\dfrac{1}{2}.140^0=70^0\)

\(OM'\) là tia đối của \(OM\Rightarrow\widehat{MOM'}=180^0\)

Mà \(OA\) nằm ngoài \(\widehat{xOy}\) và \(OA\perp Ox\) nên \(\widehat{MOM'}=\widehat{MOx}+\widehat{xOA}+\widehat{AOM'}\)

Do đó \(\widehat{AOM'}=\widehat{MOM'}-\left(\widehat{MOx}+\widehat{xOA}\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AOM'}=180^0-\left(70^0+90^0\right)=20^0\) \(\left(1\right)\)

Mặt khác \(Oy\) nằm giữa \(OB\) và \(OM\) nên \(\widehat{MOB}=\widehat{MOy}+\widehat{yOB}=70^0+90^0=160^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MOB}< \widehat{MOM'}\)

Do đó \(OB\) và \(Oy\) nằm cùng nửa mặt phẳng bờ \(MM'\)

\(Ox\) nằm giữa \(OA\) và \(OM\) nên\(\widehat{MOA}=\widehat{MOx}+\widehat{xOA}=70^0+90^0=160^0\) 

\(\Rightarrow\widehat{MOA}< \widehat{MOM'}\) 

Do đó tia \(OA\) và \(Ox\) nằm cùng nửa mặt phẳng bờ \(MM'\)

Nên \(OM'\) nằm giữa \(OA\) và \(OB\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOM'}+\widehat{M'OB}\Rightarrow\widehat{M'OB}=\widehat{AOB}-\widehat{AOM'}=40^0-20^0=20^0\left(2\right)\) 

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có: \(\widehat{M'OB}=\widehat{AOM'}=20^0=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}\)

Suy ra \(OM'\) là tia phân giác của góc \(\widehat{AOB}\)

b) Ta có: \(\widehat{MOx}< \widehat{MOA}< \widehat{MOM'}\) nên \(OA\) nằm giữa \(Ox\) và \(OM'\)

Mà \(OM'\) là tia phân giác của góc \(\widehat{AOB}\) 

Suy ra \(OA\) nằm giữa \(Ox\) và \(OB\)

Vậy \(\widehat{xOB}=\widehat{xOA}+\widehat{AOB}=90^0+40^0=130^0\)

cửa hàng bán được một tạ rưỡi gẹo tẻ và gạo nếp ; trong đó 25% là gạo nếp. hỏi của hàng bán mỗi loại bao nhiêu ki-lô-gam gạo

\(\widehat{MON}=\widehat{xOx'}-\widehat{xOM}-\widehat{NOx'}=180^o-30^o-30^o=120^o\)

\(\widehat{MOt}=\widehat{NOt}=\dfrac{\widehat{MON}}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{xOt}=\widehat{xOM}+\widehat{MOt}=30^o+60^o=90^o\Rightarrow ot\perp xx'\)

$\widehat{MON}=\widehat{xO{x}^{\prime }}-\widehat{xOM}-\widehat{NO{x}^{\prime }}=180^o-30^o-30^o=120^o$

$\widehat{MOt}=\widehat{NOt}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\widehat{MON}}{2}=60^o$

$\Rightarrow \widehat{xOt}=\widehat{xOM}+\widehat{MOt}=30^o+60^o=90^o\Rightarrow ot\perp xx$

\(\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC},\widehat{BON}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOD}\) 

mà \(\widehat{BOC}+\widehat{BOD}=\widehat{COD}=180^o\)

suy ra \(\widehat{BOM}+\widehat{BON}=\dfrac{1}{2}.180^o=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NOM}=90^o\)

\(OP\perp OM\Rightarrow\widehat{MOP}=90^o\)

\(\widehat{PON}=\widehat{POM}+\widehat{MON}=90^o+90^o=180^o\)

suy ra \(P,O,N\) thẳng hàng. 

Suy ra \(\widehat{COP}\) và \(\widehat{DON}\) là hai góc đối đỉnh. 

vcx

Với n đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm, ta được \(2n\) tia chung gốc

Chọn 1 tia trong \(2n\) tia chung gốc đã cho tạo với 2n - 1 tia còn lại, ta được \(2n-1\) ( góc )

Làm như vậy với \(2n\) tia chung gốc, ta được   \(2n\left(2n-1\right)\) ( góc )

Nhưng vì mỗi góc đã được tính 2 lần nên số góc thực có là:

\(\dfrac{2n\left(2n-1\right)}{2}=n\left(2n-1\right)\) ( góc )

Trong đó có  đường thẳng nên sẽ có \(n\) góc bẹt

Số góc khác góc bẹt là: 

\(n\left(2n-1\right)-n\) ( góc )

Mỗi góc trong số \(n\left(2n-1\right)-n\) đều có một góc đối đỉnh với nó:

Số cặp góc đối đỉnh là:

\(\dfrac{n\left(2n-1\right)-n}{2}=\dfrac{n\left(2n-1-1\right)}{2}\) \(=\dfrac{n\left(2n-2\right)}{2}=n\left(n-1\right)\) ( cặp góc )

Vậy có tất cả \(n\left(n-1\right)\) cặp góc đối đinth được tạo thành ( không tính góc bẹt )

Ta có

\(\widehat{x'ON}=\widehat{xOx'}-\widehat{xON}=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NOP}=\dfrac{\widehat{x'ON}}{2}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MOP}=\widehat{xOM}+\widehat{xON}+\widehat{NOP}=45^o+90^o+45^{^{ }o}=180^o\)

=> M; O; P thẳng hàng => MP cắt xx' tại O

\(\Rightarrow\widehat{xOM};\widehat{x'OP}\) là hai góc đối đỉnh

${}^{40}$

\(\widehat{MON}=\widehat{xOM}+\widehat{xON}=140^0+40^o=180^o\)

=> M; O; N thẳng hàng

=> MN cắt xx' tạo O => \(\widehat{xON};\widehat{x'OM}\) là hai góc đối đỉnh

Cho đường thẳng xx' và một điểm O nằm trên đường thẳng xx'. Trên nửa mặt phẳng bờ xx', vẽ tia OM sao cho xOM =140% . Trên nửa mặt phẳng bờ xx' không chứa tia OM vẽ tia ON sao cho xON = 40%. chứng minh xON và x' OM là hai góc đối đỉnh.

∘

Rõ ràng các góc $\angle AOD,\angle BOC $ được đề cập là các góc không lớn hơn $180^o$.
Khi đó ta thấy rằng $\angle AOD,\angle BOC$ là hai góc đối đỉnh nên $\angle AOD=\angle BOC$, từ đó kết hợp giả thiết ta thu được $2\angle AOD=100^o$ hay $\angle AOD=\angle BOC=50^o$
Khi đó $\angle BOD=\angle AOC=180^o-\angle 50^o=130^o$

a/ Xét tg ABH và tg ACH có

AB=AC (gt)

AH chung

HB=HC (gt)

=> tg ABH = tg ACH (c.c.c)

b/ Xét tg vuông ADH và tg vuông AEH có

AH chung

tg ABH = tg ACH (cmt) => \(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\)

=> tg ADH = tg AEH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AD=AE (1)

Mà

BD=AB-AD; CE=AC-AE (2)

AB=AC (3)

Từ (1) (2) (3) => BD=CE

c/ Ta có

\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=5cm\)

Xét tg vuông ECH có

\(EH=\sqrt{HC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3cm\) (Pitago)

d/ Ta có

HD=HC (gt)

Xét tg vuông BDH có

HD<HB (trong tg vuông cạnh huyền là cạnh có độ dài lớn nhất)

=> HD<HC