2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(LHS\ge\sum_{cyc}\dfrac{a^4}{ab+2ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{3}=\dfrac{3}{3}=1\)Vậy ta có điều phải chứng minh

1. Khi $m=4$ thì phương trình trở thành $x^2-9x+20=0\Leftrightarrow (x-4)(x-5)=0$ hay $x=4$ hoặc $x=5$ là các nghiệm của phương trình.

2. Ta có \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m\right)=1>0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, hơn thế nữa ta có $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$ có 2 nghiệm là $x_1,x_2$ thì theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2m+1,x_1.x_2=m^2+m$, ta có $-17=(x_1+x_2)^2-7x_1.x_2=(2m+1)^2-7(m^2+m)$ hay $-3m^2-3m+18=0\Leftrightarrow 3(m+3)(m-2)=0$, vậy $m=2,m=-3$ là các giá trị cần tìm 

$A=\sqrt{2x+2|x-4|}$

\(A^2=x+2\sqrt{2x-4}+x-2\sqrt{2x-4}+2\sqrt{\left(x+2\sqrt{2x-4}\right)\left(x-2\sqrt{2x-4}\right)}=2x+2\sqrt{x^2-4\left(2x-4\right)}=2x+2\sqrt{x^2-8x+16}=2x+2\sqrt{\left(x-4\right)^2}=2x+2\left|x-4\right|\)

Suy ra A=$\sqrt{2x+2|x-4|}

a)66
b)20
c)13
d)243
e)38
f)33
g)9720
h)87

ĐKXĐ: $1\geq x^4-x^2\geq 0$

Lưu ý vì vế trái của phương trình không âm nên ta có $x-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$.
Với $x\geq 1$ thì vế phải luôn không âm, ta bình phương hai vế và được phương trình tương đương là 

\(1-\sqrt{x^4-x^2}=\left(x-1\right)^2\Leftrightarrow1-\left(x-1\right)^2=\sqrt{x^4-x^2}\)

\(\Leftrightarrow2x-x^2=\sqrt{x^4-x^2}=x\sqrt{x^2-1}\Leftrightarrow2-x=\sqrt{x^2-1}\)\(\Leftrightarrow\left(2-x\right)^2=x^2-1\Leftrightarrow-4x+4=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\)thỏa mãn $x\geq 1$ và $1\geq x^4-x^2\geq 0$, vậy \(x=\dfrac{5}{4}\)

gọi $J$ là giao điểm của $DE,AC$, ta có $BCDJ $là hình thoi nên $BC\parallel JD$, $JA=AC=2CF\Rightarrow 3CF=JF$, theo Thales ta có \(\dfrac{BC}{EJ}=\dfrac{CF}{JF}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow JE=3BC\), mà $JD=BC$ nên suy ra $DE=2BC$, hay $EG=DG=BC$, dẫn đến $BCEG,BCGD$ là hình bình hành, suy ra $H$ là trung điểm $CD,I$ là trung điểm $CG$, theo tính chất đường trung bình ta có \(IH=\dfrac{1}{2}DG=\dfrac{1}{4}DE\)

\(\dfrac{1998\times1996+1997\times11+1985}{1997\times1996-1995\times1996}=\dfrac{1998\times1996+1997\times11+1996-11}{\left(1997-1995\right)\times1996}=\dfrac{1998\times1996+\left(1997-1\right)\times11}{2\times1996}=\dfrac{1998\times1996+1996\times11}{2\times1996}=\dfrac{\left(1998+11\right)\times1996}{2\times1996}=\dfrac{1998+11}{2}=\dfrac{2009}{2}\)