chúc bn hok tốt

a) Xét ΔAHB có ^AHB = 90⁰ ( AH ⊥ BC ) => ΔAHB vuông tại H

Khi đó : \(\sin B=\sin\widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}=\frac{5}{13};\cos B=\cos\widehat{ABH}=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{AB^2-AH^2}\left(pythagoras\right)}{AB}=\frac{12}{13}\)

ΔABC vuông tại A => ^B + ^C = 90⁰ => \(\sin C=\cos B=\frac{12}{13}\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ΔABC vuông tại A ta có :

\(AH^2=BH\cdot HC\Rightarrow AH=\sqrt{BH\cdot HC}=2\sqrt{3}\)

cmtt như a) ta có được ΔAHC vuông tại H

Khi đó : \(\sin C=\sin\widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{\sqrt{AH^2+HC^2}}=\frac{\sqrt{21}}{7};\cos C=\cos\widehat{ACH}=\frac{CH}{AC}=\frac{CH}{\sqrt{AH^2+HC^2}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)ΔABC vuông tại A => ^B + ^C = 90⁰ => \(\sin B=\cos C=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

\(D=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge\sqrt{x-2+4-x}\)

\(=\sqrt{2}\)

dấu "=" xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-2}=0\\\sqrt{4-x}=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}}\)

vậy MIN \(D=\sqrt{2}\)

\(D=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\frac{x-2+1+4-x+1}{2}=4\)

dấu "=" xảy ra khi \(x=3\)

vậy \(MAX:D=4\)

\(D=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\)

\(\Rightarrow D^2=x-2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}+4-x=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)

*GTNN

Với 2 ≤ x ≤ 4 => \(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge0\Leftrightarrow2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge2\)

hay D² ≥ 2 => D ≥ √2 . Dấu "=" xảy ra <=> x = 2 hoặc x = 4 (tm)

*GTLN

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\le x-2+4-x=2\Rightarrow2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\le4\)

hay D² ≤ 4 => D ≤ 2 . Dấu "=" xảy ra <=> x = 3 (tm)

Vậy \(\hept{\begin{cases}Min_D=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=2orx=4\\Max_D=2\Leftrightarrow x=3\end{cases}}\)

\(A=\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}\)

\(A=\sqrt{x-3+2\sqrt{x-3}+1}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x-3}+1\right)^2}\)

\(A=\left|\sqrt{x-3}+1\right|\)

\(A=\sqrt{x-3}+1\)

\(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\)

\(B=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}\)

\(B=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)

\(B=\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)

kết hợp với đkxđ của x ta lập bảng xét dấu và phân TH

\(TH1:1\le x\le2\)

\(B=\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2\)

\(TH2:x>2\)

\(B=\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1\)

\(B=2\sqrt{x-1}\)

\(N=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(2\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)

\(=x-\sqrt{x}+1\)

\(\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}=\sqrt{\frac{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}}+\sqrt{\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}}\)

\(=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{2}=3\)

\(\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}+1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\)

a, bạn xem lại đề 

b, Với \(a;b\ge0;a\ne b\)

\(B=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\)

a) AD là p/giác của \(\widehat{A}\) => \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BD}{BC-BD}\)

<=> \(\frac{BD}{35-BD}=\frac{21}{28}\)<=> 28BD = 735 - 21BD <=> 49BD = 735 <=> BD = 15 (cm)

b) Xét tam giác ABC có: AB² + AC² = 21² + 28² = 1225

                     BC² = 35² = 1225

=> BC² = AB² + AC² => tam giác ABC vuông tại A (định lí Pi - ta - go đảo)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

=> AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

<=> AH = 21.28/35 = 84/5 (cm)

AB² = BH.BC (htl) => BH = 21²/35 = 63/5 (cm)

=> HD = BD - BH = 15 - 63/5 = 12/5 (cm)

=> S_AHD = 1/2.AH.HD = 1/2.84/5.12/5 = 504/25 (cm²)