Cách để Phân tích nhân tử đa thức bậc ba: 12 Bước (kèm Ảnh) ( vô tkhđ )

A nghĩ ở đây mấy cách lớp 8 dùng được . Em tham khảo nha

Ta có : A = x(x + 1)(x² +  x - 4)

= (x² + x)(x² + x - 4)

Đặt x² + x = t

Khi đó A = t(t - 4)

= t² - 4t = t² - 4t + 4 - 4 = (t - 2)² - 4 \(\ge\)-4

 Dấu "=" xảy ra <=> t - 2 = 0

=> t = 2

=> x² + x = 2

=> x² + x - 2 = 0

=> x² + 2x - x - 2 = 0

=> x(x + 2) - (x + 2) = 0

=> (x - 1)(x + 2) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+2=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy Min A = -4 <=> x \(\in\left\{1;-2\right\}\)

A = x( x + 1 )( x² + x - 4 )

= ( x² + x )( x² + x - 4 )

Đặt t = x² + x

A <=> t( t - 4 )

      = t² - 4t

      = ( t² - 4t + 4 ) - 4

      = ( t - 2 )² - 4 

      = ( x² + x - 2 )² - 4 ≥ -4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x² + x - 2 = 0

                             <=> x² - x + 2x - 2 = 0

                             <=> x( x - 1 ) + 2( x - 1 ) = 0

                             <=> ( x - 1 )( x + 2 ) = 0

                             <=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

=> MinA = -4 <=> x = 1 hoặc x = -2

Vì \(a^2+b^2\ge2ab,b^2+1\ge2b\),ta có:

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+1}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự:\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)và \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)

Khi đó\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)

Dấu"="trg BĐT trên xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Vậy \(Max_P=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Chắc không được GP đâu !!

Áp dụng bđt cauchy , ta có :

+) \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2\)

+) \(b^2+2c^2+3\ge2bc+2c+2\)

+) \(c^2+2a^2+3\ge2ac+2a+2\)

Khi đó , ta có :

\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ac+2a+2}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{bc+c+1}+\frac{abc}{ac+a+1}\right)\)( vì abc= 1 )

\(=\frac{1}{2}=VP\)( đoạn này ban tự phân tích ra nha , mk lmaf hơi tắt )

Vậy .................

1. Đặt nhân tử chung
2. Dùng hđt
3. nhóm hạng tử
4. thêm bớt hạng tử
5. phối hợp nhiều phương pháp cùng lúc

Dùng hệ quả của định lí Bezout cũng được :)) nhưng áp dụng cho đa thức bậc 3, 4 là chủ yếu 

Ta có: \(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)=4\left(1+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2+y^2+1-2\left(x-y\right)\left(xy-1\right)=4+4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2-2xy+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)-2\left(x-y\right)\left(xy-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)^2-2\left(x-y\right)\left(xy-1\right)+\left(x-y\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1-x+y\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)\left(y-1\right)\right]^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(y-1\right)^2=4=1.4\) 

Vì \(\left(x+1\right)^2;\left(y-1\right)^2\) là các SCP và đều không âm nên ta chỉ cần xét các TH sau:

TH1: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=4\end{cases}}\) => \(\orbr{\begin{cases}x+1=1\\x+1=-1\end{cases}}\) và \(\orbr{\begin{cases}y-1=2\\y-1=-2\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}\) và \(\orbr{\begin{cases}y=3\\y=-1\end{cases}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=4\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\) => \(\orbr{\begin{cases}x+1=2\\x+1=-2\end{cases}}\) và \(\orbr{\begin{cases}y-1=1\\y-1=-1\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-3\end{cases}}\) và \(\orbr{\begin{cases}y=2\\y=0\end{cases}}\) 

Kết luận:...

\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)=4\left(1+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2xy+x^2y^2\right)+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)=4+4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)+\left(x-y\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(1-xy+x-y\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)\left(1-y\right)\right]^2=2^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(1-y\right)=2\\\left(x+1\right)\left(1-y\right)=-2\end{cases}}\)

Tự xét các TH

\(\left(x^2+4\right)^2-16x^2\)

\(=\left(x^2+4\right)^2-\left(4x\right)^2\)

\(=\left(x^2+4-4x\right).\left(x^2+4+4x\right)\)

\(=\left(x-2\right)^2.\left(x+2\right)^2=\left(x^2-4\right)^2\)

16x mũ 2 trừ y mũ 2 mũ 2

Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được 

\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)

Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)

Cách trâu bò :

Ta có : 

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)

+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)

Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )

            Bài làm :

a) Ta có :
d_Hg = 136000 Pa > d_H2O = 10000 Pa > d_dầu = 8000 Pa =>h_Hg < h_H2O < h_dầu

Giải thích : Vì áp suất chất lỏng phụ thuộc vào độ cao và trọng lượng riêng của chất lỏng mà trong bình thông nhau áp suất chất lỏng gây ra ở các nhánh luôn bằng nhau

b) Ta có hình vẽ :

M N E .... .... .... .... xxx h' h'' (1) (2) (3)

Xét tại các điểm M , N , E trong hình vẽ, ta có :

•  PM = h . d1 (1)
•  PN = 2,5h . d2 + h’. d3 (2)
•  PE = h”. d3 (3) .

Trong đó d1; d2 ; d3 lần lượt là trọng lượng riêng của thủy ngân , dầu và nước. Độ cao h’ và h” như hình vẽ .
+ Ta có :

• PM = PE <=>h"=h.d₁/d₃ =>h_1,3 = h" - h = h.d₁/d₃ - h
• PM=PN => h_1,2 = (2,5h+h') - h = (h.d₁-2,5h.d₂-h.d₃)/d₃

=>h_2,3 = (2,5h+h')-h"

c) Đọ chênh lệch mực nước là : h"-h'