Ta có : \(C+5D=4x+3y+5.\left(7x+2y\right)\)

\(=4x+3y+35x+10y\)

\(=39x+13y⋮13\)

\(\Rightarrow C+5D⋮13\)

Mà  \(C⋮13\Rightarrow5D⋮13\Rightarrow D⋮13\left(đpcm\right)\)

a) \(501^2=\left(500+1\right)^2=250000+1000+1=251001\)

b) \(99^2=\left(100-1\right)^2=10000-200+1=9801\)

c) \(76.42=\left(59+17\right)\left(59-17\right)=59^2-17^2=3481-289=3192\)

Bài làm :

\(501^2=\left(500+1\right)^2=250000+1000+1=251001\)

\(b,99^2=\left(100-1\right)^2=10000-200+1=9801\)

\(c,76.42=\left(59+17\right)\left(59-17\right)=59^2-17^2=3192\)

Học tốt

Bài làm :

\(x.\left(2x^3+x+2\right)-2x^2.\left(x^2+1\right)+x^2-2x+1\)

\(=2x^4+x^2+2x-2x^4-2x^2+x^2-2x+1\)

\(=\left(2x^4-2x^4\right)+\left(x^2-2x^2+x^2\right)+\left(2x-2x\right)+1\)

\(=1\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x .

Học tốt

giả sử c chẵn khi đó ta có:

\(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)+v_2\left(2c+b\right)\)

Nếu b lẻ thì ta có: \(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)=v_2\left(5c\right)\Rightarrow v_2\left(5c\right)< v_2\left(2b\right)=1\)

Điều này vô lý!

Do đó c lẻ: Xét p|c là 1 ước nguyên tố của c

Ta có: \(v_p\left(c\right)=v_p\left(5c+2b\right)+v_p\left(2c+b\right)\)

Ta thấy \(v_p\left(c\right)>v_p\left(5c+2b\right);v_p\left(2c+b\right)>0\)

Do đó: \(v_p\left(5c+2b\right)=min\left[v_p\left(c\right);v_p\left(4c+2b\right)\right]\)

\(\Rightarrow v_p\left(5c+2b\right)=v_p\left(4c+2b\right)=v_p\left(2c+b\right)\)

\(\Rightarrow v_p\left(c\right)=2v_p\left(5c+2b\right):\)số chẵn nên => c là số chính phương.(đpcm)

Bài làm :

\(x\left(3+x\right)\left(4-x\right)+\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)\)

\(=\left(3x+x^2\right)\left(4-x\right)+x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125\)

\(=12x-3x^2+4x^2-x^3+x^3-125\)

\(=x^2+12x-125\)

Học tốt

( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 4( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² = 4( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

<=> 2( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) = 4( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

<=> 2( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) = 0 ( bớt 2( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) ở cả hai vế )

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0 (1)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra ( tức (1) ) <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

=> đpcm 

2x³ + 3x² - 11x - 6 

Thử với x = 2 ta có :

2.2³ + 3.2² - 11.2 - 6 = 0

Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức. Theo hệ quả của định lí Bézout thì đa thức trên chia hết cho x - 2

Thực hiện phép chia 2x³ + 3x² - 11x - 6 cho x - 2 ta được 2x² + 7x + 3

=> 2x³ + 3x² - 11x - 6 = ( x - 2 )( 2x² + 7x + 3 )

Lại có : 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3 = 2x( x + 3 ) + ( x + 3 ) = ( x + 3 )( 2x + 1 )

=> 2x³ + 3x² - 11x - 6 = ( x - 2 )( x + 3 )( 2x + 1 )

Lại Bezout, thế này thì ...

( x + y + z )² + ( x + y - z )² - 4z²

= [ ( x + y ) + z ]² + [ ( x + y ) - z ]² - 4z² (1)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=a\\z=b\end{cases}}\)

(1) <=> ( a + b )² + ( a - b )² - 4b²

       = a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b² - 4b²

       = 2a² - 2b²

       = 2( a² - b² )

       = 2( a - b )( a + b )

       = 2( x + y - z )( x + y + z )

\(n=\left(x-y\right)^3-x^2+2xy-y^2\)

\(n=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3-x^2+2xy-y^2\)