Lời giải:

a. Xét tam giác $ABH$ và $ACH$ có:
$AB=AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$

$AH$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACH$ (ch-cgv)

$\Rightarrow BH=CH$

b. $BH=CH=\frac{BC}{2}=3$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago:
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm)

c.

Vì $BH=CH$ nên $H$ là trung điểm $BC$

Do đó $AH$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$

$\Rightarrow A,G,H$ thẳng hàng

d.

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}

Xét tam giác $ABG$ và $ACG$ có:

$AB=AC$ 

$AG$ chung

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ABG=\triangle ACG$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ABG}=\widehat{ACG}$ (đpcm)

$

Hình vẽ:

Gọi số người của ba đội lần lượt là: x; y; z (x; y; z > 0)

Ta có: 4x = 2y = 5z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{x}{5}$ = $\dfrac{y}{10}$ = $\dfrac{z}{4}$ = $\dfrac{19}{10+4+5}$ = $\dfrac{19}{19}$ = 1 

=> $\dfrac{x}{5}$ = 1 \(\times\) 5 = 5 (người)

=> $\dfrac{y}{10}$ = 1 \(\times\) 10 = 10 (người)

=> $\dfrac{z}{4}$ = 1 \(\times\) 4 = 4 (người)

Vậy cả ba đội có số người lần lượt là 5 người; 10 người; 4 người. 

Gọi số người của đội `1,2,3` lần lượt là : `a,b,c ( ≠ 0)`

Ta có : `4a = 2b = 5c`

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau :

` a/5 = b/10 = c/4 = (10+4+5)/19 = 1`

`=> a/5 = 1 xx 5 = 5 (người)`

`=> b/10 = 1 xx 10 = 10 (người)`

`=> c/4 = 1 xx 4 = 4 (người)`

Vậy....

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC ⇒IG/AG=1/2⇒2IG/AG=1 Hay GM=AG

Chứng minh tương tự ta có GN=BG và GP=GC

Xét ΔGNM và ΔGBA có:

GN=BG

∠NGM=∠BGA(đối đỉnh)

GM=GA(cmt)

⇒ΔGNM = ΔGBA(c.gc)⇒MN=AB

chứng minh tương tự ta có: PN=BC, PM=AC

Xét ΔMNK và ΔABC có:

MN=AB

PN=CB

PM=CA

⇒ tg MNP=tg ABC(c.c.c)

b) PN cắt AM tại Q. Xét ΔGPQ và ΔGCI có:

GP = GC

D1ˆ=C1ˆ

PGQˆ=CGIˆ

⇒ ΔGPQ = ΔGCI (g.c.g)

⇒ PQ = IC và GQ = GI

Mà PQ = IC, IC = 1/2BC; PN = BC ⇒ PQ = 1/2PN hay PQ = QN

Vậy MQ là trung tuyến thuộc cạnh PN của ΔPNM

Cmtt

=> G là trọng tâm của tam giác NMP.

Chúc em học tốt nha!☘

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC ⇒IG/AG=1/2⇒2IG/AG=1 Hay GM=AG

Chứng minh tương tự ta có GN=BG và GP=GC

Xét ΔGNM và ΔGBA có:

GN=BG

∠NGM=∠BGA(đối đỉnh)

GM=GA(cmt)

⇒ΔGNM = ΔGBA(c.gc)⇒MN=AB

chứng minh tương tự ta có: PN=BC, PM=AC

Xét ΔMNK và ΔABC có:

MN=AB

PN=CB

PM=CA

⇒ tg MNP=tg ABC(c.c.c)

b) PN cắt AM tại Q. Xét ΔGPQ và ΔGCI có:

GP = GC

D1ˆ=C1ˆ

PGQˆ=CGIˆ

⇒ ΔGPQ = ΔGCI (g.c.g)

⇒ PQ = IC và GQ = GI

Mà PQ = IC, IC = 1/2BC; PN = BC ⇒ PQ = 1/2PN hay PQ = QN

Vậy MQ là trung tuyến thuộc cạnh PN của ΔPNM

Cmtt

=> G là trọng tâm của tam giác NMP.

Kẻ đường thẳng `z` đi qua `O` và `// Aa` và `Bb`

 `@Aa //// Oz =>\hat{A}=\hat{O_1}` (`2` góc so le trong)

        `=>\hat{O_1}=40^o`

 `@Bb //// Oz=>\hat{B}+\hat{O_2}=180^o` (Tổg `2` góc trog cùng phía `= 180^o`)

           `=>130^o +\hat{O_2}=180^o =>\hat{O_2}=50^o`

Ta có:`\hat{O_1}+\hat{O_2}=\hat{AOB}`

      `=>40^o +50^o =\hat{AOB}`

     `=>\hat{AOB}=90^o`

Kẻ tia \(Ox\) song song với \(Aa\) (\(Ox\) nằm giữa \(OA,OB\)) 

suy ra \(Ox\) cũng song song với \(Bb\). 

\(\widehat{AOx}=\widehat{A_1}=40^o\) (hai góc so le trong) 

\(\widehat{BOx}+\widehat{B_1}=180^o\) (hai góc trong cùng phía) 

\(\Leftrightarrow\widehat{BOx}=180^o-\widehat{B_1}=180^o-130^o=50^o\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{AOx}+\widehat{BOx}=40^o+50^o=90^o\)

a) \(\Delta ABC=\Delta ADE\left(c.g.c\right)\) suy ra \(BC=DE\). 

b) \(\widehat{DAC}=\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=90^o+90^o=180^o\) suy ra \(D,A,C\) thẳng hàng. 

Tương tự \(B,A,E\) thẳng hàng. 

Ta có: \(\widehat{BDA}=\widehat{ACE}=45^o\) mà hai góc này ở vị trí so le trong suy ra \(BD\) song song với \(CE\). 

d) \(\widehat{DAM}=\widehat{HAC}\) (hai góc đối đỉnh) 

\(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat{ACB}\))

\(\widehat{ABC}=\widehat{EDA}\) (vì tam giác \(ABC\) bằng tam giác\(ADE\))

suy ra \(\widehat{DAM}=\widehat{EDA}\) suy ra tam giác \(MDA\) cân tại \(M\). 

Suy ra \(MA=MD\).

Tương tự ta cũng chứng minh được \(MA=ME\).

Suy ra \(MA=\dfrac{1}{2}\left(ME+MD\right)=\dfrac{DE}{2}\).

`a)`

Có: `x/3=[2x]/6`        `y/4=[3y]/12`

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau có: 

    `[2x]/6=[3y]/12=z/7=[2x+3y-z]/[6+12-7]=186/11`

`@[2x]/6=186/11=>x=[186.6]/[11.2]=558/11`

`@[3y]/12=186/11=>y=[186.12]/[3.11]=744/11`

`@z/7=186/11=>z=[186.7]/11=1302/11`

____________________________________________________

`b)` Thiếu dữ kiện: `2x-3y+z=..??..`

\(a,\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{20}\\\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{7}\Rightarrow\dfrac{y}{20}=\dfrac{z}{28}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{20}=\dfrac{z}{28}\Rightarrow\dfrac{2x}{30}=\dfrac{3y}{60}=\dfrac{z}{28}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{2x}{30}=\dfrac{3y}{60}=\dfrac{z}{28}=\dfrac{2x+3y+z}{30+60+28}=\dfrac{186}{62}=3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x}{30}=3\Rightarrow2x=90\Rightarrow x=45\\\dfrac{3y}{60}=3\Rightarrow3y=180\Rightarrow y=60\\\dfrac{z}{28}=3\Rightarrow z=84\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Cậu bổ sung đề nhé.

\(3^{n+1}=9^2\)

\(3^{n+1}=\left(3^2\right)^2\)

\(3^{n+1}=3^4\)

=> n+1 =4 

=> n =4-1=3

 \(3^{n+1}=9^2\)

=>\(3^{n+1}=\left(3^2\right)^2\)

=>\(3^{n+1}=3^4\)

=>n+1=4

=>n=3

\(\dfrac{2^{15}\cdot9^4}{6^6\cdot8^3}\) \(=\dfrac{2^{15}\cdot\left(3^2\right)^4}{\left(2\cdot3\right)^6\cdot\left(2^3\right)^3}=\dfrac{2^{15}\cdot3^8}{2^6\cdot3^6\cdot2^9}=\dfrac{2^{15}\cdot3^8}{2^{15}\cdot3^6}=3^2=9\)