Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng :
\(33+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)}{xyz}\ge\frac{14\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD
=> OA=OC; OB=OD (trong HCN hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Ta có AC=BD (trong HCN hai đường chéo băng nhau)
=> OA=OC=OB=OD => 4 điểm A;B;C;D cùng nằm trên một đường tròn tâm O là giao của hai đường chéo HCN
2/
a/
Ta có tam giác ABC vuông tại A => BC là cạnh huyền, gọi O là trung điểm cạnh huyền => AO là trung tuyến thuộc cạnh huyền
=> OA=OB=OC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền) => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
b/
Ta có tg ABC có BC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tg ABC => OA=OB=OC
+ Xét tg AOB có OA=OB => tg AOB cân tạo O => ^BAO = ^AOB (1)
+ Xét tg AOC có OA=OC => tg AOC cân tại O => ^CAO = ^AOC (2)
Xét tg ABC có
^ABC+^ABO+^ACO=180 (tổng các góc trong của 1 tg =180 độ)
=> (^BAO+^CAO)+^ABO+^ACO=180 (3)
Từ (1) (2) và (3) => ^ABC=^BAO+^CAO=^ABO+^ACO=180:2=90
=> tg ABC vuông tại A
trung bình mỗi con cân nặng số kg là
(102+231+177) : 3 =170 (kg)
ĐS:170 kg
1 quyển vở: 10000
1 cái bút:3000
Vì lúc đầu mua 3 quyển vở và 2 cái bút, lần 2 mua 5 quyển vở mà vẫn là mua 2 cái bút. Vậy giá của 2 cái bút ko thay đổi.
Giá tiền mua bút và vở lần 1 kém giá tiền mua bút và vở lần 2 là: 56000 - 36000 = 20000(đồng)
Số vở mua lần 1 và số vở mua lần 2 kém nhau là: 5 - 3 = 2 (quyển)
Giá tiền 1 quyển vở là: 20000 : 2 = 10000
GIá tiền mua 2 cái bút là: 56000 - (10000 x 5) = 6000 (đồng)
Giá tiền mua 2 cái bút là : 6000 : 2 = 3000 (đồng)
Đ/S: 1 quyển vở: 10000 đồng
1 cái bút: 3000 đồng
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2019\Rightarrow x+y+z=2019xyz\)
Xét \(\sqrt{2019x^2+1}=\sqrt{\frac{x^2+xy+xz}{yz}+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\)\(\Rightarrow\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}\le\frac{x^2+1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1}{x}=x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{2}{x}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}\le y+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+\frac{2}{y}\); \(\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le z+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{2}{z}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}+\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}+\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le\left(x+y+z\right)+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=2019xyz+3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le2019xyz+3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=2019xyz+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=2019xyz+2019^2xyz=2019.2020xyz\)Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{673}}\)
\(A=\left(\frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{1\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{1-\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{1-\sqrt{x}}\)
=\(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right).\left(1-\sqrt{x}\right)}\)
=\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)