Cái này chỉ cần xét hoành độ giao điểm thôi.

PT : \(x^4-7x^2-6-x^3+13x=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2(x-2)(x+3)=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}y=-12\\y=-18\\y=12\end{matrix}\right.\)

PT hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt nên số điểm chung là $3$

bai hay day

Mình giải giúp b câu 1 này

Ở phần mẫu bạn biến đổi \(cos^2xsin^2x=\frac{1}{4}\left(4cos^2xsin^2x\right)=\frac{1}{4}sin^22x\)

Đặt t = sin2x => \(d\left(t\right)=2cos2xdx\)

Đổi cận \(x=\frac{\pi}{4}=>t=1\) \(x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có biểu thức trên sau khi đổi biến và cận

\(\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{\frac{1}{2}dt}{\frac{1}{4}t^2}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{2}{t^2}dt=\left(-\frac{2}{t}\right)\)lấy cận từ 1 đến \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\left(-\frac{2}{1}\right)=2-4\frac{\sqrt{3}}{3}\) => a=2 và b=-4/3 vậy A=2/3 nhé

Câu 1)

Ta có:

\(I=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin ^2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx\)

\(=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\sin^2 x}-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos ^2x}=-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\cot x)-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\tan x)\)

\(=-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}-1 \right )-(\sqrt{3}-1)=2-\frac{4}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a+b=\frac{2}{3}\)

Lời giải:

Vì \(A_1,A_2,A_3 \) là hình chiếu của \(A\) lên các mặt phẳng tọa độ nên :

\(\left\{\begin{matrix} A_1=(-1,2,0)\\ A_2=(-1,0,3)\\ A_3=(0,2,3)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow {A_1A_2}=(0,-2,3)\\ \overrightarrow {A_1A_3}=(1,0,3)\\ \end{matrix}\right.\)

Vector pháp tuyến của \((A_1A_2A_3):\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow {A_1A_2},\overrightarrow {A_1A_3}]=(-6,3,2)\)

Suy ra PTMP:

\(-6(x-0)+3(y-2)+2(z-3)=0\Leftrightarrow -6x+3y+2z-12=0\)

Lời giải:

Vì phương trình có nghiệm \(z_1=-1+i, z_2=-1-i\) nên bằng định lý Viete đảo ta có một nhân tử của phương trình là \(z^2+2z+2\)

Do đó dễ dàng phân tích phương trình trên như sau:

\(z^4+4z^3+11z^2+14z+10=0\)

\(\Leftrightarrow (z^2+2z+2)(z^2+2z+5)=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z^2+2z+2=0\\ z^2+2z+5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \) \(\left[\begin{matrix}z=-1+i\\z=-1-i\\z=-1+2i\\z=-1-2i\end{matrix}\right.\)

bạn giỏi thật

Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác ABC.

Ta có \(\begin{cases}AB\perp CD\\AB\perp SO\end{cases}\) nên \(AB\perp\left(SCD\right)\)

Do đó \(AB\perp SC\)

Mặt khác \(SC\perp AH\) suy ra \(SC\perp\left(ABH\right)\)

Ta có : \(CD=\frac{a\sqrt{3}}{2};OC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên \(SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\frac{a\sqrt{33}}{3}\)

Do đó : \(DH=\frac{SO.CD}{SC}=\frac{a\sqrt{11}}{4}\Rightarrow S_{\Delta ABH}=\frac{1}{2}AB.DH=\frac{\sqrt{11}a^2}{8}\)

Ta có : \(SH=SC-HC=SC-\sqrt{CD^2-DH^2}=\frac{7a}{4}\)

Do đó : \(V_{S.ABH}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABH}=\frac{7\sqrt{11}a^3}{96}\)

V(SABC) = SA.S(ABC)/3 = 2a.(a√3/2).a/6 = a^3√3/6 
gọi khoảng cách từ A đến mp(SBC) là h, ta có: 
V1 = V(SAMN) = V(ASMN) = S(SMN).h/3 
V = V(SABC) = V(ASBC) = S(SBC).h/3 
=> V1/V = S(SMN)/S(SBC) = 1/2.SM.SN.sin(MSN^)/1/2.SB.SC.sin(MSN^) = (SM/SB).(SN/SC) 
SB = SC (do AB = AC) và SM = SN ( = SA^2/SB) 
=> V1/V = (SM/SB)^2 
SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 => SB = a√5 
SM = SA^2/SB = 4a^2/(a√5) = 4a/√5 
=> V1/V = (16a^2/5)/(5a^2) = 16/25 
=> (V - V1)/V = 9/25 
=> V(A.BCNM) = (V - V1) = 9.V/25 = 9.(a^3√3/6)/25 = 3a^3√3/50 

Thề là bài của bạn Kirito làm mình không hiểu gì hết. Đáp án cuối cùng của bạn cũng sai nốt, tính tích phân thì ra giá trị cụ thể chứ làm gì còn $c$

Lời giải:

Ta có \(I=\underbrace{\int ^{1}_{0}x^2dx}_{A}+\underbrace{\int ^{1}_{0}x^3\sqrt{1-x^2}dx}_{B}\)

Xét \(A=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}\)

Xét \(B=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}x^2\sqrt{1-x^2}d(x^2)\)

Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow x^2=1-t^2\). Khi đó

\(B=-\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}(1-t^2)td(1-t^2)=\int ^{1}_{0}t^2(1-t^2)dt=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5} \right )=\frac{2}{15}\)

\(\Rightarrow I=A+B=\frac{7}{15}\)

Chắc bạn học lớp 12 nhỉ???

Đ/A:

\(I=\int\limits^1_0x^2\left(1+x\sqrt{1-x^2}\right)dx=\int\limits^1_0x^2dx+\int\limits^1_0x^3\sqrt{1-x^2}dx\)

\(I_1=\int\limits^1_0x^2dx=\frac{x^3}{3}\)|\(_0^1=\frac{1}{3}\)

\(I_2=\int\limits^1_0x^3\sqrt{1-x^2}dx\)

Đặt \(t=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x^2=1-t^2\Rightarrow xdx\Rightarrow tdt\)

Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=1;x=1\Rightarrow t=0\)

\(\Rightarrow I_2=-\int\limits^1_0\left(1-t^2\right)t^2dt=\int\limits^1_0\left(t^2-t^4\right)dt=\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}\right)\)|\(_0^1=\frac{2}{15}\)

Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{7}{5}\)

Đặt \(u=x\Rightarrow du=dx;dv=c^{2x}\) chọn \(v=\frac{1}{2}c^{2x}\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0xc^{2x}dx=\frac{x}{2}c^{2x}\)|\(_0^1-\frac{1}{2}\int\limits^1_0c^{2x}dx=\frac{c^2}{2}-\frac{1}{4}c^{2x}\)|\(_0^1=\frac{c^2+1}{4}\)

Vậy \(I=\frac{3c^2+7}{2}\)

Lời giải:

Đặt \(x=t^2\Rightarrow I=\int t^2\sin td(t^2)=2\int t^3\sin tdt\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u_1=t^3\\ dv_1=\sin tdt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du_1=3t^2dt\\ v_1=-\cos t\end{matrix}\right.\Rightarrow I=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)

Tiếp tục

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u_2=t^2\\ dv_2=\cos tdt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du_2=2tdt\\ v_2=\sin t\end{matrix}\right.\Rightarrow I=-t^3\cos t+3t^2\sin t-6\int t\sin tdt\)

Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int t\sin tdt\)

\(\Rightarrow I=-t^3\cos t +3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)

Câu 2)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)

Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)

Câu 3:

\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)

Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)

Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)

Ta có : \(5^{2x}-24.5^{x-1}-1=0\Leftrightarrow5^{2x}-\frac{24}{5}.5^x-1=0\)

Đặt \(t=5^x,\left(t>0\right)\)

a)Phương trở thành : \(\Leftrightarrow t^2-\frac{24}{5}.t-1=0\left[\begin{matrix}t=5\\t=-\frac{1}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(t=5\) ta có \(x=1\)

Vậy phương trình có nghiệm là : \(x=1\) và \(x=-1\)

ĐK: \(x>1\)

b)Ta có phương trình :\(\Leftrightarrow log_{\frac{1}{2}}+log_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)+log_26=0\Leftrightarrow log_{\frac{1}{2}}x\left(x-1\right)+log_26=0\)

\(\Leftrightarrow log_2x\left(x-1\right)=log_26\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=6\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Đôi chiếu điều kiện ta thấy phương trình có nghiệm \(x=3\)

Câu 1)

\(I=\int \ln ^3 xdx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^3x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{3\ln ^2x}{x}dx\\ v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x\ln ^3x-3\int \ln^2xdx\)

Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln ^2xdx\) như trên, ta suy ra:

\(\int\ln ^2xdx=x\ln^2x-2\int \ln x dx\).

Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln xdx\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+c\)

Do đó mà \(I=x\ln ^3x-3(x\ln^2x-2x\ln x+2x)+c\)

\(\Leftrightarrow I=x\ln^3x-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+c\)

Câu 2)

\(I=\int ^{1}_{0}(x+\sin ^2x)\cos x dx=\int ^{1}_{0}x\cos xdx+\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)

\(\Rightarrow \int ^{1}_{0} x\cos xdx=\sin 1+\cos 1-1\)

Còn \(\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx=\int ^{1}_{0}\sin ^2xd(\sin x)=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\sin ^3x}{3}=\frac{\sin^31}{3}\)

\(\Rightarrow I=-1+\sin 1+\cos 1+\frac{\sin ^3 1}{3}\approx 0,0173\)